절대부등식의 증명 – 코시-슈바르츠 부등식 - 고등학교 공통수학 2

안녕하세요! 여러분의 든든한 수학 가이드 친절샘입니다 😊
오늘은 수학에서 가장 유명한 부등식 중 하나인
**코시-슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz Inequality)**에 대해 다뤄볼게요.

처음엔 조금 어려워 보여도, 차근차근 따라오다 보면
‘아! 이게 바로 수학의 논리로 이루어진 아름다움이구나!’ 라는 감탄이 절로 나올 거예요.

---

✅ 코시-슈바르츠 부등식이란?

먼저 정의부터 확인해볼까요?

실수 a₁, a₂, ..., aₙ과 b₁, b₂, ..., bₙ에 대하여,
다음 부등식이 항상 성립합니다:

(a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²) × (b₁² + b₂² + ... + bₙ²)

📌 즉, 두 수열의 내적의 제곱은 각 수열의 제곱합의 곱보다 작거나 같다!

✔ 등호 성립: 두 수열이 정비례할 때 (즉, aᵢ = k·bᵢ 형태일 때)

---

✅ 2차원 (n = 2)으로 쉽게 이해해보자!

a₁ = a, a₂ = b, b₁ = c, b₂ = d 라고 하면,

(ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²)

이 부등식은 2차원 벡터 내적의 부등식 형태로도 자주 등장하죠.

---

✅ 코시-슈바르츠 부등식의 증명 (2차원 예시)

(ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²) 를 증명해볼게요!

좌변: (ac + bd)² = a²c² + 2abcd + b²d²

우변: (a² + b²)(c² + d²) = a²c² + a²d² + b²c² + b²d²

둘의 차: (a² + b²)(c² + d²) - (ac + bd)²
= a²d² + b²c² - 2abcd
= (ad - bc)² ≥ 0

✅ 따라서 항상 성립! 등호는 ad = bc일 때만 성립 → 정비례 조건

---

✅ 코시-슈바르츠 부등식의 활용 예제

예제 1

a, b가 실수일 때, 다음을 증명하세요.
(a + 2b)² ≤ (1² + 2²)(a² + b²)

✔ 풀이
좌변: (a + 2b)²
우변: (1² + 2²)(a² + b²) = 5(a² + b²)

→ 코시-슈바르츠 부등식으로
(a + 2b)² ≤ (1² + 2²)(a² + b²)
→ 성립!

---

예제 2

a, b가 양수일 때, 다음 부등식을 증명하시오.
(ab + 1)² ≤ (a² + 1)(b² + 1)

✔ 풀이
좌변: (ab + 1)²
우변: (a² + 1)(b² + 1)

코시-슈바르츠 적용:
(ab + 1)² ≤ (a² + 1)(b² + 1)
✅ 항상 성립!

---

✅ 등호 성립 조건

코시-슈바르츠 부등식에서 등호가 성립하는 경우는 다음과 같아요:

• 두 벡터 또는 수열이 정비례할 때 (예: aᵢ = k·bᵢ)

즉, 하나의 수열이 다른 수열을 일정한 비율로 곱한 형태일 때만 **=(같음)**이 됩니다.

---

🧠 시험을 위한 포인트 정리

내용핵심 요약

정의	(a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ...)(b₁² + b₂² + ...)
2차원 형태	(ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²)
증명 핵심	우변 - 좌변 = (ad - bc)² ≥ 0
등호 성립 조건	두 수열 또는 벡터가 정비례할 때
활용 분야	벡터 내적, 함수 내적, 평균의 비교 등

---

🔖 태그

#코시슈바르츠 #절대부등식 #수학증명 #수능수학 #고등수학 #부등식정리 #친절샘 #수학개념정리 #부등식의활용 #논리수학