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오늘은 고등수학에서 꼭 알아야 할 주제,
바로 절대부등식과 부등식 증명에 사용되는 실수의 성질에 대해 알아보겠습니다.
✅ 절대부등식이란?
절대부등식은 항상 참이 되는 부등식을 말해요.
즉, 어떤 실수 값을 넣더라도 거짓이 되지 않는 부등식이에요.
대표적인 절대부등식 2가지를 먼저 소개할게요!
1️⃣ 제곱은 항상 0 이상
- x² ≥ 0 (모든 실수 x에 대해 참)
- (x - y)² ≥ 0
- (a + b)² ≥ 0
제곱은 절대로 음수가 될 수 없다는 성질이죠!
2️⃣ x² + y² ≥ 0 (단, x, y ∈ ℝ)
- 이 부등식도 항상 참
- 단, 등호가 성립하는 경우는 x = y = 0일 때뿐
✅ 실수의 성질과 부등식 증명
수학에서 부등식을 증명할 때 자주 활용되는 실수의 기본 성질들이 있어요.
이 성질들을 알아두면 어떤 부등식이 참인지 빠르게 판단할 수 있답니다!
📌 실수의 주요 성질
- 제곱은 항상 0 이상
→ x² ≥ 0 - 절댓값의 정의
→ |x| = √(x²) ≥ 0 - 삼각부등식 (삼각형 부등식)
→ |a + b| ≤ |a| + |b| - 곱셈 부등식
→ a > b, c > 0이면 ac > bc
→ a > b, c < 0이면 ac < bc - 평균과 부등식
→ 산술평균 ≥ 기하평균 (AM ≥ GM)
a > 0, b > 0일 때
(a + b)/2 ≥ √(ab)
✍️ 절대부등식 예제 증명하기
예제 1
모든 실수 x에 대하여 다음을 증명하세요.
x² + 2x + 1 ≥ 0
✔️ 풀이
좌변을 완전제곱식으로 바꾸면
x² + 2x + 1 = (x + 1)² ≥ 0
→ 항상 0 이상이므로 항상 참
예제 2
모든 실수 x, y에 대하여 다음을 증명하세요.
(x - y)² ≥ 0
✔️ 풀이
제곱은 항상 0 이상이므로 성립
→ 등호는 x = y일 때 성립
예제 3
양수 a, b에 대하여
(a + b)/2 ≥ √(ab) 를 증명하세요.
✔️ 풀이
산술평균 - 기하평균 부등식을 이용합니다.
(a - b)² ≥ 0
→ a² - 2ab + b² ≥ 0
→ a² + 2ab + b² ≥ 4ab
→ (a + b)² ≥ 4ab
→ (a + b)/2 ≥ √(ab) (양변에 양의 값만 존재하므로 부등호 방향 유지)
🧠 부등식 증명에서 주의할 점
- 곱하기 전에 부호 확인 필수!
예: 양수냐 음수냐에 따라 부등호 방향이 달라져요. - 항상 등호 성립 조건을 체크하세요
문제에서 “언제 등호가 성립하는가?”를 묻는 경우가 많습니다. - 절댓값, 제곱, 평균 등은 자주 쓰이는 도구!
기본 성질로 변형하면 더 쉽게 풀 수 있어요.
✅ 마무리 정리
개념설명예시
| 절대부등식 | 어떤 실수에서도 항상 성립하는 부등식 | x² ≥ 0, (x - y)² ≥ 0 |
| 실수의 성질 | 실수의 계산법과 부등식 성립 원리 | |
| 부등식 증명 | 성질을 이용해 수학적으로 증명 | (a + b)/2 ≥ √(ab) |
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