수학에서의 정의, 증명, 정리 - 고등학교 공통수학 2

안녕하세요!
수학을 친절하고 쉽게 알려주는 친절샘이에요 😊
여러분 혹시 수학 시간에 ‘정의’, ‘정리’, ‘증명’ 같은 말을 들을 때 머리가 복잡해지지는 않으셨나요?

하지만 이 개념들을 정확히 이해하면, 수학을 논리적으로 사고하는 힘이 쑥쑥 자란답니다.
오늘은 수학의 기본 틀을 이루는 정의, 증명, 정리에 대해 명확히 정리해볼게요!

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✅ 1. 정의(定義)란?

수학에서 ‘정의’란 어떤 개념이나 용어의 정확한 의미를 정하는 것이에요.
정의는 마치 수학의 약속과도 같아요.
정의가 있어야 개념을 정확하게 사용할 수 있고, 수학적 대화도 가능하답니다.

예시

• 자연수: 1, 2, 3, 4, … 와 같이 셀 수 있는 양의 정수
• 소수: 1보다 큰 자연수 중에서, 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수

정의는 바꾸거나 반박할 수 없어요.
정의는 수학적 토대이며, 그 자체로 참입니다.

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✅ 2. 정리(定理)란?

정리란, 이미 인정된 명제나 공리를 바탕으로 증명할 수 있는 명제예요.

쉽게 말하면, “수학적으로 증명된 사실”이에요.
우리는 보통 정리를 기반으로 새로운 문제를 해결하고 응용하죠.

대표적인 정리 예시

• 피타고라스 정리:
  “직각삼각형에서 빗변의 제곱은 두 변의 제곱의 합과 같다.”
  → a² + b² = c² (단, 직각을 끼고 있는 두 변: a, b / 빗변: c)
• 이차방정식 근의 공식:
  x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

이런 정리들은 모두 이미 수학적으로 증명된 명제예요.

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✅ 3. 증명(證明)이란?

수학에서 ‘증명’이란 어떤 명제가 참임을 논리적으로 밝히는 과정입니다.

정의, 공리, 이미 증명된 정리를 이용해
차근차근 논리를 전개하며 결론이 참임을 보이는 것이죠.

수학은 “그럴 것 같다”가 통하지 않아요.
오직 논리적인 증명을 통해서만 인정됩니다.

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📘 정의 vs 정리 vs 증명 정리표

구분의미예시특징

정의	개념을 정확히 정함	소수: 약수가 1과 자기 자신뿐인 수	스스로 참, 증명 필요 없음
정리	증명된 사실	피타고라스 정리	참이라는 것을 증명해야 함
증명	정리를 논리로 입증하는 과정	이차방정식의 근의 공식 유도	정리의 논리적 근거를 제시

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✍️ 시험 대비 예제

예제 1
다음 중 정의에 해당하는 것은?
(1) x² - y² = (x + y)(x - y)
(2) 소수는 1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자기 자신뿐인 수이다.
(3) 피타고라스 정리: a² + b² = c²

→ 정답: (2)

예제 2
다음 중 증명이 필요한 명제는?
(1) 이차방정식의 근의 공식
(2) 자연수는 1, 2, 3, …이다.
(3) 수는 크기 비교가 가능하다.

→ 정답: (1)

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🧠 왜 이게 중요할까?

정의, 정리, 증명의 차이를 알면…

• 문제 풀이 시 혼동이 줄고,
• 논술형 문제에서도 논리 구조를 잡기 쉬워요!
• 특히 수능의 킬러 문제, 논증형 문제에 강해질 수 있어요.

예를 들어, 수학 II의 삼각함수 단원이나 미적분에서 나오는 정의 → 정리 → 증명 → 활용 구조를 이해하는 데 큰 도움이 됩니다.

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📝 친절샘 마무리 한줄 정리

• 정의는 수학적 약속이다.
• 정리는 참임이 증명된 명제다.
• 증명은 정리가 참이라는 것을 논리적으로 밝히는 과정이다.