안녕하세요!
수학을 쉽고 친절하게 설명해드리는 여러분의 선생님, 친절샘입니다 😊
오늘은 논리의 기본 중 기본, 바로 명제의 참과 거짓에 대해 함께 알아볼게요.
이 개념은 고등수학에서만 중요한 게 아니고, 나중에 수학적 증명, 조건 판단, 논리 문제 풀이에 아주 깊게 연결된답니다!
✅ 명제란?
먼저 용어부터 제대로 알고 갑시다.
명제란?
“참(True)” 또는 “거짓(False)”을 명확하게 판단할 수 있는 문장을 말합니다.
그런데 이게 왜 중요하냐고요?
수학에서는 모든 논리 전개가 명제를 기반으로 이루어지기 때문이에요!
🔍 명제의 예와 비명제의 예
문장명제 여부이유
| 3은 홀수이다. | 명제 (참) | 참인지 판단 가능 |
| 7은 2의 배수이다. | 명제 (거짓) | 거짓인지 판단 가능 |
| x는 양수이다. | ❌ 명제 아님 | x의 값이 명확하지 않음 |
| 나는 기분이 좋다. | ❌ 명제 아님 | 주관적 문장, 참/거짓 불확실 |
🧠 참인 명제와 거짓인 명제
명제는 오직 두 가지 중 하나! 참(True) 또는 거짓(False)
어떤 경우든 진리값이 반드시 하나로 정해져야 합니다.
- 참인 명제 예시
“5는 자연수이다.” → 참
“√4는 2이다.” → 참 - 거짓인 명제 예시
“모든 소수는 짝수이다.” → 거짓
“π는 유리수이다.” → 거짓
🔁 항상 참 또는 항상 거짓인 명제?
조금 더 깊이 들어가 볼게요.
- 항진명제: 어떤 경우에도 항상 참인 명제
- 모순명제: 어떤 경우에도 항상 거짓인 명제
- 조건부 명제: 경우에 따라 참일 수도, 거짓일 수도 있음
예시
- 항진명제: “x² ≥ 0 (x는 실수)”
- 모순명제: “x² < 0 (x는 실수)”
- 조건부 명제: “x > 2이면 x² > 4”
🔎 명제 판단을 위한 꿀팁
- 모든 경우에 대해 참인가? → 항진명제
- 예외 하나라도 있으면? → 조건부 또는 거짓
- 항상 거짓인가? → 모순명제
✍️ 실전 예제 – 명제 판단하기
예제 1
“모든 양의 정수는 홀수이다.”
→ 참인가요? ❌ 거짓입니다. (예: 2는 양의 정수지만 홀수가 아님)
예제 2
“x² ≥ 0 (단, x는 실수)”
→ 어떤 실수 x에 대해서도 x²는 항상 0 이상
→ ✅ 참 (항진명제)
예제 3
“x > 1이면 x² > 1이다.”
→ ✅ 참 (조건문), x > 1일 때 x²는 항상 1보다 크기 때문
예제 4
“1은 소수가 아니다.”
→ ✅ 참 (고등수학에서 소수는 1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자기 자신뿐인 수이므로)
⚠️ 혼동 주의!
- “x는 자연수이다.” → x의 값이 정해지지 않았으므로 명제가 아님
- “3은 짝수이다.” → 명제는 맞음 (거짓인 명제일 뿐, 명제가 아닌 것은 아님)
📚 마무리 정리
개념설명
| 명제 | 참 또는 거짓이 명확한 문장 |
| 참인 명제 | 명제의 내용이 사실일 때 |
| 거짓인 명제 | 명제의 내용이 틀릴 때 |
| 항진명제 | 항상 참 |
| 모순명제 | 항상 거짓 |
'수학 > 공통수학2' 카테고리의 다른 글
| 필요조건, 충분조건, 필요충분조건 - 고등학교 공통수학 2 (1) | 2025.04.20 |
|---|---|
| 명제의 역, 이, 대우, 삼단논법 - 고등학교 공통수학 2 (0) | 2025.04.20 |
| 명제와 조건, 진리집합, 조건의 부정 - 고등학교 공통수학 2 (1) | 2025.04.20 |
| 명제의 참과 거짓 - 고등학교 공통수학 2 (0) | 2025.04.17 |
| 명제와 조건, 진리집합, 조건의 부정 - 고등학교 공통수학 2 (0) | 2025.04.17 |