명제의 참과 거짓 - 고등학교 공통수학 2

명제의 참과 거짓 – 헷갈리면 이 글 하나로 정리! | 친절샘의 개념쏙쏙 수학교실

안녕하세요, 여러분!
수학의 개념을 친절하게 알려드리는 친절샘입니다 😊

오늘은 수학 논리의 가장 기본이 되는 **"명제의 참과 거짓"**에 대해 알아보는 시간을 가져볼게요.
처음엔 좀 생소하게 느껴질 수 있지만, 이해하고 나면 정말 쉬워지고, 시험에서도 틀릴 수 없는 포인트랍니다.

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🔍 명제란 무엇일까요?

우선 명제의 뜻부터 확실히 알아야겠죠?

명제란 참인지 거짓인지가 분명한 문장을 말합니다.

예를 들어,

• “2는 짝수이다.” → 참
• “5는 4보다 크다.” → 참
• “10은 소수이다.” → 거짓
• “x는 양수이다.” → 명제가 아님 (x가 무엇인지 정해져 있지 않아서 참/거짓을 판단할 수 없어요.)

그러니까 참 또는 거짓을 확실하게 말할 수 있는 문장만 명제라고 부른답니다!

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✅ 명제의 참과 거짓 판단하는 법

명제는 반드시 하나의 진리값, 즉 참(True) 또는 거짓(False)을 가져야 해요.

예시 1
“7은 소수이다.”
→ 맞아요! 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 1보다 큰 자연수니까 소수입니다.
→ 따라서 참입니다.

예시 2
“모든 짝수는 홀수이다.”
→ 이건 너무 명백히 거짓이죠.
→ 따라서 거짓

예시 3
“x² ≥ 0이다.”
→ 여기서 x는 실수라고 하면, x²은 항상 0보다 크거나 같아요.
→ 항상 참인 명제

예시 4
“x > 2 이면 x² > 4이다.”
→ x가 2보다 크면 x²도 항상 4보다 큽니다.
→ 참인 명제

하지만! 아래 예시도 꼭 주의하세요.

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❗항상 참이 아니면 ‘항진명제’가 아닙니다

어떤 명제가 모든 경우에 대해 항상 참일 때는 항진명제라고 하고,
항상 거짓인 경우는 모순명제라고 해요.

예시

• “x² + 1 > 0” (x가 실수일 때) → 항진명제
• “x² + 1 < 0” (x가 실수일 때) → 모순명제

이렇게 구별해두면 논리 단원에서 어려운 문제들도 쏙쏙 풀릴 수 있어요.

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✍️ 실전 예제 – 명제의 참/거짓 확인하기

문제 1
다음 문장이 명제인지 판단하고, 명제라면 참인지 거짓인지 말해보세요.

(1) 6은 2의 배수이다.
(2) x는 음수이다.
(3) 모든 소수는 짝수이다.
(4) 7은 자연수이다.

풀이
(1) 참 (명제 O)
(2) 명제 X (x가 무엇인지 정해져 있지 않아요)
(3) 거짓 (2를 제외한 모든 소수는 홀수예요)
(4) 참 (명제 O)

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🔁 명제의 형태 – 조건이 들어가면?

명제 중에서도 조건문 형태인 "p이면 q이다(p → q)" 형태의 명제도 있어요.
이때는 조건(p)이 참인데 결론(q)이 거짓이면 전체 명제는 거짓입니다.
그 외에는 모두 참이에요!

pqp → q

참	참	참
참	거짓	거짓
거짓	참	참
거짓	거짓	참

이 표, 시험 전에 꼭 암기하고 가세요!

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🔄 명제와 관련된 용어들

• 참인 명제: 명제가 성립함
• 거짓인 명제: 명제가 성립하지 않음
• 항진명제: 모든 경우에 대해 참
• 모순명제: 모든 경우에 대해 거짓
• 조건명제: “p → q” 형태로 된 명제
• 명제가 아닌 문장: 진리값이 결정되지 않음 (예: “x는 정수이다.”)

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🎯 정리 한 줄 요약

• 명제란 참/거짓이 명확히 판단되는 문장
• 참이면 “참인 명제”, 거짓이면 “거짓인 명제”
• 조건형 명제의 경우, p가 참인데 q가 거짓이면 전체는 거짓
• 항상 참이면 항진명제, 항상 거짓이면 모순명제

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이제 명제가 뭔지 확실히 알겠죠?
수학의 시작은 명확한 논리적인 사고력!
여러분이 문제를 풀면서 왜 그런지 이유를 설명할 수 있다면, 그건 이미 개념을 완전히 이해한 거예요 😎

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