명제의 역, 이, 대우, 삼단논법 - 고등학교 공통수학 2

안녕하세요, 여러분의 수학 친구 친절샘입니다 😊
오늘은 고등수학의 논리 단원에서 꼭 알아야 할 명제의 변형과 삼단논법에 대해 아주 쉽게 설명드릴게요.

"논리? 말장난 아니에요?" 라고 생각하면 오산!
이 개념은 수학뿐 아니라 논술, 철학, 심지어 일상 대화에서도 중요한 사고의 기초가 된답니다.

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✅ 기본 명제: p → q

우선 명제의 기본 구조는 아래와 같아요.

p → q
읽는 방법: “p이면 q이다” 또는 “p는 q의 충분조건이다”

예시:
“x는 짝수이면 x는 2의 배수이다.”
→ 여기서 p: x는 짝수이다 / q: x는 2의 배수이다

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🔄 명제의 '역', '이', '대우'란?

이제 이 명제를 살짝씩 변형해볼게요.
이 변형들이 바로 역, 이, 대우예요!

종류표현읽는 방법

역	q → p	“q이면 p이다”
이	p ∧ q	“p이고 q이다”
대우	¬q → ¬p	“q가 아니면 p가 아니다”

**∧**는 “그리고”,
**¬**는 “부정(not)”을 뜻하는 기호예요.

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🧠 진리값의 관계 (중요!)

• 원래 명제(p → q)와 **대우(¬q → ¬p)**는 항상 같은 진리값을 가짐
• 하지만 역(q → p), **이(p ∧ q)**는 원래 명제와 진리값이 다를 수 있음!

이걸 반드시 기억하세요.
시험에서 많이 나오는 포인트예요!

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📝 예제

명제: "x가 3의 배수이면 x는 홀수이다."

• 역: "x가 홀수이면 x는 3의 배수이다."
  → ❌ 거짓 (예: x = 5는 홀수지만 3의 배수가 아님)
• 이: "x가 3의 배수이고 x는 홀수이다."
  → 조건을 둘 다 만족해야 참
• 대우: "x가 홀수가 아니면 x는 3의 배수가 아니다."
  → ✅ 원래 명제와 진리값 같음

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📚 삼단논법이란?

삼단논법이란, 두 개의 조건을 이용해 새로운 조건을 유도하는 논리 규칙이에요.

형식:

1. p → q
2. q → r
3. 따라서 p → r

예시

1. "열심히 공부하면 성적이 오른다" (p → q)
2. "성적이 오르면 자신감이 생긴다" (q → r)
   → 결론: "열심히 공부하면 자신감이 생긴다" (p → r)

이 논리 흐름이 바로 삼단논법입니다!

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🧪 실전 문제

문제 1
명제 “x는 짝수이면 x는 2로 나누어떨어진다”의 역, 이, 대우를 각각 쓰고, 참인지 거짓인지 판단하세요.

문제 2
다음 조건을 활용해 삼단논법으로 새로운 명제를 만들어보세요.
(1) “A면 B이다”
(2) “B이면 C이다”
→ 새로운 명제는?

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✅ 마무리 정리

명제 유형기호의미원래 명제와 진리값

원래 명제	p → q	p이면 q이다	-
역	q → p	q이면 p이다	❌ 다를 수 있음
이	p ∧ q	p이고 q이다	❌ 별도 논리
대우	¬q → ¬p	q가 아니면 p가 아니다	✅ 항상 동일

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이제 여러분도 ‘논리 수학’의 문을 활짝 열었어요!
‘역, 이, 대우, 삼단논법’은 외우는 것이 아니라 이해하는 것이 핵심입니다.
문제를 풀 때도, 설명을 쓸 때도 이 논리 구조를 자연스럽게 활용할 수 있길 바랄게요.