함수의 정의 - 고등학교 공통수학 2

안녕하세요! 여러분의 수학 길잡이 친절샘입니다 😊
오늘은 고등학교 수학의 핵심 개념 중 하나인 함수의 정의에 대해 알아보겠습니다.
함수는 수학뿐만 아니라 과학, 공학, 경제 등 다양한 분야에서 활용되는 중요한 개념이니,
꼼꼼히 이해해보도록 해요!

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📌 함수란 무엇일까요?

함수는 한 집합의 원소를 다른 집합의 원소에 일정한 규칙에 따라 대응시키는 관계입니다.
즉, 각 입력값에 대해 단 하나의 출력값이 정해지는 관계를 말합니다.

예를 들어, 어떤 기계에 숫자를 넣으면 일정한 규칙에 따라 결과가 나오는 것을 생각해보세요.
이때 입력값과 출력값의 관계가 바로 함수입니다.

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📌 함수의 구성 요소

함수를 이해하기 위해서는 다음과 같은 용어들을 알아야 합니다:

• 정의역(Domain): 함수에 입력할 수 있는 모든 값들의 집합입니다.
• 공역(Codomain): 함수의 출력값이 포함될 수 있는 값들의 집합입니다.
• 치역(Range): 실제로 함수에 의해 출력되는 값들의 집합입니다.

예를 들어, 함수 f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2에서:

• 정의역: 실수 전체 집합 R\mathbb{R}R
• 공역: 실수 전체 집합 R\mathbb{R}R
• 치역: 0 이상의 실수 집합 {y∈R∣y≥0}\{ y \in \mathbb{R} \mid y \geq 0 \}{y∈R∣y≥0}

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📌 함수의 예시

1. 일차함수: f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3f(x)=2x+3
   • 정의역: 실수 전체 집합 R\mathbb{R}R
   • 공역: 실수 전체 집합 R\mathbb{R}R
   • 치역: 실수 전체 집합 R\mathbb{R}R
2. 이차함수: f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2
   • 정의역: 실수 전체 집합 R\mathbb{R}R
   • 공역: 실수 전체 집합 R\mathbb{R}R
   • 치역: 0 이상의 실수 집합 {y∈R∣y≥0}\{ y \in \mathbb{R} \mid y \geq 0 \}{y∈R∣y≥0}

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📌 함수인지 아닌지 판단하기

어떤 관계가 함수인지 판단하려면, 한 입력값에 대해 출력값이 하나만 존재하는지를 확인해야 합니다.

예를 들어:

• 관계 A: {(1,2),(2,3),(3,4)}\{ (1,2), (2,3), (3,4) \}{(1,2),(2,3),(3,4)} → 함수입니다. 각 입력값에 대해 출력값이 하나씩 존재합니다.
• 관계 B: {(1,2),(1,3),(2,4)}\{ (1,2), (1,3), (2,4) \}{(1,2),(1,3),(2,4)} → 함수가 아닙니다. 입력값 1에 대해 두 개의 출력값이 존재합니다.

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📌 함수의 표현 방법

함수는 여러 가지 방법으로 표현할 수 있습니다:

1. 식으로 표현: f(x)=x+1f(x) = x + 1f(x)=x+1
2. 표로 표현:
3. xf(x)

   1	2
   2	3
   3	4

4. 말로 표현: "각 수에 1을 더한 값을 대응시킨다."
5. 그래프로 표현: 좌표평면에 점들을 찍어 함수의 형태를 시각적으로 나타냅니다.

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📌 함수의 실생활 예시

함수는 일상생활에서도 다양하게 활용됩니다:

• 주행 거리 계산: 일정한 속도로 이동할 때, 시간에 따른 주행 거리는 함수로 표현됩니다.
• 은행 이자 계산: 원금과 이율에 따라 이자가 계산되는 방식도 함수입니다.
• 체온 변화: 시간에 따른 체온의 변화도 함수로 나타낼 수 있습니다.

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📌 연습 문제

1. 다음 중 함수인 것을 모두 고르세요:b) {(1,2),(1,3),(2,4)}\{ (1,2), (1,3), (2,4) \}{(1,2),(1,3),(2,4)}d) {(x,y)∣x=y2}\{ (x, y) \mid x = y^2 \}{(x,y)∣x=y2}
2. c) {(x,y)∣y=x2}\{ (x, y) \mid y = x^2 \}{(x,y)∣y=x2}
3. a) {(1,2),(2,3),(3,4)}\{ (1,2), (2,3), (3,4) \}{(1,2),(2,3),(3,4)}

정답:

• a) 함수입니다. 각 입력값에 대해 출력값이 하나씩 존재합니다.
• b) 함수가 아닙니다. 입력값 1에 대해 두 개의 출력값이 존재합니다.
• c) 함수입니다. 각 x값에 대해 y값이 하나씩 존재합니다.
• d) 함수가 아닙니다. 예를 들어, x=4일 때 y=2와 y=-2 두 개의 출력값이 존재합니다.

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📌 마무리

함수는 수학의 기본 개념 중 하나로, 다양한 분야에서 활용됩니다.
함수의 정의와 구성 요소를 정확히 이해하고, 함수인지 아닌지를 판단하는 능력을 키우는 것이 중요합니다.
앞으로 함수의 다양한 성질과 그래프에 대해서도 배워보도록 해요!

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