정의역, 공역, 치역, 서로 같은 함수 - 고등학교 공통수학 2

친절한 수학 선생님, 친절샘이에요.
오늘은 함수의 구성요소인 정의역, 공역, 치역 그리고 서로 같은 함수란 무엇인지에 대해 아주 쉽고 명확하게 설명해드릴게요. 여러분이 시험에서 이 개념을 놓치지 않도록 중요한 예제도 함께 준비했답니다!

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1. 정의역이 뭐예요?

함수란 어떤 입력에 대해 오직 하나의 출력을 대응시키는 규칙이에요.
이때 입력값으로 사용할 수 있는 모든 x값의 집합을 우리는 정의역이라고 부릅니다.

📌 예를 들어, 함수 f(x) = x²에서 x에 어떤 수를 넣을 수 있을까요?
→ 모든 실수에 대해 정의되어 있으므로, 정의역은 실수 전체 R입니다.

하지만 함수 f(x) = 1 / (x - 2)처럼 x = 2를 넣으면 분모가 0이 되니 안 되죠!
→ 이 함수의 정의역은 x ≠ 2인 모든 실수입니다.

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2. 공역이 뭐예요?

공역은 함수의 출력값이 포함될 수 있는 집합 전체예요.
함수의 식만 보고 미리 정해두는 출력값의 범위라고 생각하면 돼요.

예를 들어, 함수 f: R → R, f(x) = x²라고 하면,
정의역은 R(실수 전체), 공역도 R로 정했지만 실제로 나오는 값은 음수가 없어요!

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3. 치역이 뭐예요?

치역은 실제로 나오는 출력값들의 집합이에요.
즉, 함수에 x값들을 넣었을 때 f(x)로 나오는 실제 결과값의 범위랍니다.

예시로, f(x) = x²의 경우:

• 정의역: R
• 공역: R (문제에서 주어짐)
• 치역: x² ≥ 0이므로 [0, ∞)

💡 공역과 치역의 가장 큰 차이점은?
공역은 "가능성"이고, 치역은 "실제 결과"예요!

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4. 서로 같은 함수란?

함수 f와 g가 있다고 해볼게요. 이 두 함수가 서로 같은 함수가 되기 위해서는 3가지 조건을 만족해야 해요.

① 정의역이 같아야 하고
② 공역이 같아야 하며
③ 정의역의 모든 x에 대해 f(x) = g(x)가 성립해야 해요

예시:

• f(x) = x², g(x) = x * x (두 식은 같아 보여도)
  정의역이 같고, 공역이 같고, 결과도 같다면 → 같은 함수예요!

하지만 정의역이나 공역이 다르면?
→ 식이 같더라도 서로 다른 함수입니다!

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📝 예제 문제

예제 1
함수 f(x) = √(x - 1)의 정의역, 공역, 치역을 구해보세요.

🔍 풀이

• √(x - 1)이 실수가 되려면 x - 1 ≥ 0 → x ≥ 1
• 정의역: x ≥ 1
• 공역: 문제에서 주어지지 않았다면, 보통 실수 전체 R
• 치역: √(x - 1)의 최소값은 0, 최대값은 무한대 → [0, ∞)

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예제 2
다음 중 같은 함수인 것을 고르세요.

A. f(x) = |x|, 정의역 R, 공역 [0, ∞)
B. g(x) = √(x²), 정의역 R, 공역 R

🔍 풀이
f(x) = |x|와 g(x) = √(x²)는 수식상 같지만 공역이 다르므로 → 서로 다른 함수

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🔖 핵심 요약

• 정의역: 함수에 넣을 수 있는 x값의 집합
• 공역: 함수값이 속하는 공간 (보통 문제에서 지정)
• 치역: 실제로 나오는 y값들의 집합
• 같은 함수는 정의역, 공역, 대응값이 모두 같아야 함