일대일 대응, 일대일 함수 - 고등학교 공통수학 2

언제나 친절하게 수학 개념을 알려드리는 친절샘입니다 😊
오늘은 함수의 중요한 개념 중 하나인 **‘일대일 대응’과 ‘일대일 함수’**에 대해 알아보려고 해요.
이 개념은 역함수, 합성함수, 수열 등의 단원에서도 반복해서 등장하니 반드시 정확하게 이해하고 넘어가야 해요!

---

📌 함수 복습부터 시작할까요?

함수란 무엇인가요?
함수는 정의역의 원소를 공역의 원소에 단 하나만 대응시키는 규칙이었죠.

즉, f(x)라는 함수는 어떤 x값을 하나 넣으면 그에 해당하는 y값이 정확히 하나만 나와야 해요.
하지만 그 y값이 여러 x값에서 중복될 수는 있어요.

예: f(x) = x²는 x = 2와 x = -2에서 모두 y = 4가 나오죠.
→ 이것은 함수이긴 하지만, 일대일 함수는 아닙니다!

---

✅ 일대일 함수란?

함수 f(x)가 일대일(one-to-one) 이라는 것은,
서로 다른 입력값 x₁, x₂에 대해 항상 서로 다른 출력값 f(x₁), f(x₂)가 나오는 함수를 말해요.

수학적으로 표현하면 다음과 같아요:

x₁ ≠ x₂ 이면, f(x₁) ≠ f(x₂)

또는

f(x₁) = f(x₂) 이면, x₁ = x₂

즉, 같은 값을 만들려면 같은 입력값을 넣어야 한다는 뜻이에요.

---

🔍 예제 1

함수 f(x) = 2x + 1는 일대일 함수일까요?

• f(1) = 2 * 1 + 1 = 3
• f(2) = 2 * 2 + 1 = 5

모든 x에 대해 f(x)는 유일한 값을 만들어내고, 중복되는 y값이 없어요.
→ 일대일 함수 맞습니다.

---

🔍 예제 2

함수 f(x) = x²는 일대일 함수일까요?

• f(2) = 4
• f(-2) = 4

입력값이 다르지만 결과가 같죠!
→ 일대일 함수가 아닙니다.

---

✅ 일대일 대응이란?

이제 "대응"이라는 말이 붙은 개념으로 넘어가 봅시다.
일대일 대응(bijection) 은 함수가 일대일이면서 **전사(onto)**일 때를 말합니다.

• 일대일: 입력이 다르면 출력도 다르다
• 전사: 공역의 모든 값이 치역에 포함된다 (즉, 공역 = 치역)

📌 쉽게 말해서,
정의역의 각 원소가 공역의 각 원소와 정확히 하나씩 짝지어지는 관계예요.

---

🔍 예제 3

A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}일 때
함수 f(x) = x + 3 (정의역 A → 공역 B)

• f(1) = 4
• f(2) = 5
• f(3) = 6

정의역의 각 원소가 공역의 각 원소에 딱 하나씩 대응되고,
공역의 값이 모두 사용됨 → 일대일 대응입니다.

---

📌 일대일 함수의 성질

• 일대일 함수는 역함수가 존재해요.
  왜냐하면 각 출력값에 해당하는 입력값이 하나뿐이기 때문이죠!
• 함수 f(x)와 그 역함수 f⁻¹(x)는 y = x에 대해 대칭인 그래프를 가집니다.

---

📝 실전 연습 문제

문제 1
다음 함수 중 일대일 함수인 것을 고르세요.
① f(x) = x²
② f(x) = 3x - 1
③ f(x) = |x|

정답: ②
→ ①은 x², ③은 |x|이므로 f(2) = f(-2) 같은 경우가 발생하여 일대일이 아님.

---

문제 2
집합 A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c}에 대해
f: A → B가 f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c일 때,
이 함수는 일대일 대응인가요?

→ 네! A의 모든 원소가 B의 서로 다른 원소에 정확히 대응하므로 일대일 대응입니다.

---

📚 마무리 요약

• 일대일 함수: 서로 다른 x값이 항상 서로 다른 y값으로 대응되는 함수
• 일대일 대응: 일대일 함수이면서, 공역의 모든 원소가 치역에 포함되는 경우
• 일대일 함수는 역함수를 가질 수 있는 중요한 조건입니다!