합성함수 - 고등학교 공통수학 2

안녕하세요!
수학의 개념을 쉽게 풀어주는 친절한 선생님, 친절샘입니다 😊

여러분, 함수 f(x), g(x)가 따로따로 있다면, 이 두 함수를 한 번에 묶어서 하나의 함수처럼 표현할 수 있을까요?
그게 바로 오늘의 주제, 합성함수입니다!
복잡해 보일 수 있지만, 사실 알고 보면 아주 논리적이고 간단한 개념이랍니다.

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1. 합성함수란?

함수 f와 g가 있을 때, 어떤 x값을 먼저 g에 넣고,
그 결과값을 다시 함수 f에 넣는 과정을 생각해볼 수 있어요.

이렇게 해서 만들어지는 새로운 함수를
“f와 g의 합성함수”, 또는 **“f ○ g”**라고 하고,
다음과 같이 정의해요.

(f ○ g)(x) = f(g(x))

즉, x를 g에 넣고 나온 값을 다시 f에 넣는 거예요.
한마디로 **“g를 먼저 하고, 그다음 f”**입니다!

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2. 합성함수의 예시

예시를 통해 쉽게 이해해볼게요 😊

예제 1

f(x) = 2x + 1
g(x) = x²

이때 (f ○ g)(x)는?

• g(x) = x²
• f(g(x)) = f(x²) = 2x² + 1

👉 따라서 (f ○ g)(x) = 2x² + 1

반대로 (g ○ f)(x)는?

• f(x) = 2x + 1
• g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1

👉 따라서 (g ○ f)(x) = 4x² + 4x + 1

📌 이렇게 순서를 바꾸면 다른 함수가 될 수 있으니,
합성함수는 순서가 매우 중요합니다!

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3. 정의역 주의사항

합성함수 (f ○ g)(x)를 정의할 수 있으려면 반드시 다음 조건이 필요해요:

• x가 g의 정의역에 속해야 하고,
• g(x)의 결과가 f의 정의역에 속해야 해요.

즉, g → f 순서로 입력값이 흘러가면서
정상적으로 함수가 작동해야 합성함수가 정의됩니다.

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4. 함수의 이름은 밖에서 안으로!

이건 정말 중요해요.
(f ○ g)(x)라고 썼을 때,
먼저 g(x)를 계산한 다음 → 그 결과를 f에 넣는다는 뜻이에요.

이름이 밖에서 안으로 감싸고 있다고 생각하면 기억하기 쉬워요!

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5. 실전 문제

문제 1

f(x) = 3x - 2, g(x) = x² + 1일 때, (f ○ g)(2)는?

• g(2) = 2² + 1 = 5
• f(g(2)) = f(5) = 3 * 5 - 2 = 13

정답: 13

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문제 2

f(x) = √x, g(x) = x - 1일 때, (f ○ g)(x)의 정의역은?

• g(x) = x - 1이므로, f(g(x)) = √(x - 1)
• √(x - 1)이 정의되기 위해서는 x - 1 ≥ 0 → x ≥ 1

정답: x ≥ 1

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6. 합성함수는 왜 중요할까요?

합성함수는 단순히 식을 바꿔주는 것이 아니라,
복잡한 함수 관계를 간단히 표현하고 해석할 수 있도록 도와주는 개념이에요.

• 역함수의 개념과도 깊은 관련이 있고,
• 나중에 배우게 될 미적분, 함수의 그래프 분석, 실생활 모델링에서도 자주 사용됩니다.

특히 여러 함수가 이어져 작동하는 시스템, 예를 들면
온도 변환, 경제 모델링, 신호 처리 등에서 필수적인 도구랍니다.

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📝 친절샘의 요약 정리

• 합성함수 (f ○ g)(x) = f(g(x))
• 먼저 g(x)를 계산하고 → 그 값을 f에 넣는다
• 함수 순서에 따라 결과가 달라질 수 있음
• 합성함수가 정의되려면, g(x)의 결과가 f의 정의역에 포함되어야 함
• 합성함수는 수학적 사고력을 기르는 데 아주 좋은 훈련입니다!