역함수, 역함수 구하는 방법 - 고등학교 공통수학 2

안녕하세요, 여러분!
여러분의 수학 길잡이, 친절샘이에요 😊
오늘은 함수의 쌍둥이, 거울 속 반영처럼 마주 보는 **“역함수”**에 대해 함께 공부해볼게요.

함수를 공부하다 보면 "이 함수의 반대 방향은 뭘까?" 라는 생각이 들 수 있어요.
마치 집에서 학교까지 가는 길이 있다면,
학교에서 집까지 돌아오는 길도 있겠죠?

바로 그 반대 방향이 역함수예요!

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✅ 역함수란?

함수 f(x)가 있을 때,
f(x)에 의해 x → y로 대응된다면,
**역함수 f⁻¹(x)**는 반대로 y → x로 대응시켜주는 함수예요.

즉,

f(a) = b이면,
f⁻¹(b) = a

이런 관계를 만족하는 함수가 역함수입니다.

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✅ 역함수의 조건: 일대일 대응

모든 함수가 역함수를 가지는 건 아니에요!

역함수가 존재하려면,
**그 함수가 일대일 대응(one-to-one and onto)**이어야 해요.

• 일대일: 서로 다른 x값이 서로 다른 y값으로 대응
• 전사: 공역의 모든 값이 치역에 포함

쉽게 말해,
함수의 결과값 y로부터 입력값 x를 정확히 알 수 있어야 역함수가 존재합니다!

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✅ 역함수의 성질

함수 f와 역함수 f⁻¹은 다음 성질을 갖습니다:

1. f(f⁻¹(x)) = x
2. f⁻¹(f(x)) = x

즉, 서로 합성하면 항등함수 I(x) = x가 돼요.

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✅ 역함수 구하는 3단계 방법

이제 실제로 역함수를 구해봅시다!

예제 1

f(x) = 3x + 2

1단계. y = f(x)라고 놓기
→ y = 3x + 2

2단계. x와 y를 바꾸기
→ x = 3y + 2

3단계. y에 대해 다시 정리
→ x = 3y + 2
→ x - 2 = 3y
→ y = (x - 2) / 3

즉,
f⁻¹(x) = (x - 2) / 3

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예제 2

f(x) = (x - 1) / (x + 2)

1단계. y = (x - 1) / (x + 2)

2단계. x = (y - 1) / (y + 2)

3단계. 양변에 (y + 2)를 곱하고 y에 대해 정리
x(y + 2) = y - 1
xy + 2x = y - 1
xy - y = -2x - 1
y(x - 1) = -2x - 1
y = (-2x - 1) / (x - 1)

따라서,
f⁻¹(x) = (-2x - 1) / (x - 1)

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✅ 역함수와 그래프

그래프에서 함수 f와 f⁻¹은 y = x 대칭 관계입니다.

예를 들어, f(2) = 5이면
f⁻¹(5) = 2이므로,
점 (2, 5)와 (5, 2)가 서로 y = x에 대해 대칭이 되는 점이에요.

그래프 없이도 이 점은 꼭 기억해 주세요!

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✅ 역함수 존재 여부 판별법

함수가 일대일인지 확인할 때 가장 유용한 도구는 수학적 직관 + 그래프입니다.

하지만 시험에서는 다음 방법으로도 확인할 수 있어요:

• f(x₁) = f(x₂)일 때, x₁ = x₂를 유도할 수 있는가?
  → 가능하면 일대일 함수 → 역함수 존재

예:
f(x) = x²는
f(2) = f(-2) = 4 → 역함수 X (일대일 아님)

하지만 f(x) = x², 단 x ≥ 0이라면?
→ x ≥ 0 구간에선 일대일 성립 → 역함수 가능!

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📝 친절샘 요약 노트

• 역함수란: f(a) = b일 때, f⁻¹(b) = a를 만족하는 함수
• 역함수가 존재하려면 f는 일대일 대응이어야 함
• 역함수는 y = x 대칭이며, f(f⁻¹(x)) = x, f⁻¹(f(x)) = x
• 역함수 구하는 법:
  1. y = f(x)로 두기
  2. x와 y 바꾸기
  3. y에 대해 다시 정리하기