역함수의 성질과 그래프 - 고등학교 공통수학 2

안녕하세요, 여러분!
오늘도 여러분과 수학의 깊은 이야기 속으로 걸어 들어가는 친절샘이에요 😊
이번 시간에는 함수의 또 다른 얼굴, 역함수의 성질과 그래프**에 대해 배워볼 거예요.

함수를 거꾸로 거슬러 올라가는 개념, 바로 역함수!
단순히 f(x)를 뒤집는 것이 아니라, 그 속에는 다양한 수학적 성질과 의미가 숨어 있답니다.

---

✅ 역함수 복습부터 시작해요!

함수 f(x)가 있을 때,
f(a) = b를 만족한다면,
**역함수 f⁻¹(x)**는 f⁻¹(b) = a를 만족합니다.

즉, 입력과 출력을 서로 바꿔주는 함수가 바로 역함수죠!

---

✅ 역함수의 성질

1. 합성했을 때 항등함수

함수 f와 역함수 f⁻¹에 대해 다음 관계가 항상 성립합니다.

• f(f⁻¹(x)) = x
• f⁻¹(f(x)) = x

즉, 역함수를 함수에 다시 넣으면 원래 값이 나온다는 뜻이에요.
이건 마치 자물쇠를 f, 열쇠를 f⁻¹이라고 생각하면 이해가 쉬워요.
🔐 자물쇠를 열쇠로 열고 다시 닫는 것과 같죠!

---

2. 정의역과 치역이 뒤바뀜

함수 f(x)의 정의역이 A, 치역이 B라면,
역함수 f⁻¹(x)의 정의역은 B, 치역은 A입니다.

이건 입력과 출력이 바뀌기 때문이에요.
입력이었던 값이 출력으로, 출력이었던 값이 입력으로 바뀌는 구조죠!

---

3. 대칭성 – y = x 대칭

이건 그래프에서 가장 중요한 성질입니다.

함수 f와 역함수 f⁻¹의 그래프는 y = x에 대해 대칭입니다.

예를 들어,
f(x) 그래프 위의 점 (a, b)는
f⁻¹(x)의 그래프 위에서 (b, a)로 등장합니다.

✔️ 이 성질은 역함수 그래프를 그릴 때 아주 유용해요!

---

✅ 예제로 확인해볼까요?

예제 1. 역함수와 항등성

f(x) = 2x + 3이라 할 때,
f⁻¹(x)를 구하고, f(f⁻¹(x))와 f⁻¹(f(x))를 확인해볼게요.

① f(x) = 2x + 3
→ y = 2x + 3
→ x = 2y + 3
→ y = (x - 3) / 2
→ f⁻¹(x) = (x - 3) / 2

② f(f⁻¹(x)) = f((x - 3)/2) = 2 * (x - 3)/2 + 3 = x - 3 + 3 = x
③ f⁻¹(f(x)) = f⁻¹(2x + 3) = (2x + 3 - 3) / 2 = 2x / 2 = x

✔️ 두 경우 모두 항등함수! f와 f⁻¹은 서로 역함수라는 것을 확인했어요.

---

예제 2. y = x 대칭

f(x) = x³이라면,
역함수는 f⁻¹(x) = ∛x (세제곱근)

f의 그래프 위에 있는 점 (2, 8)은
f⁻¹의 그래프 위에서는 (8, 2)가 돼요!

그래서 두 그래프는 y = x 대칭이라는 사실을 눈으로도 확인할 수 있어요.

---

✅ 역함수 그래프를 그리는 팁

1. f(x)의 그래프를 먼저 그린다.
2. 점 (a, b)를 찾는다.
3. 그 점을 y = x에 대해 대칭시키면 (b, a)
4. 그 점들을 모아 f⁻¹(x) 그래프를 완성!

또한, f(x)가 증가 함수라면 역함수도 증가,
감소 함수라면 역함수도 감소하는 특성이 있어요.

---

✅ 실전 문제

문제 1

f(x) = 1 / (x + 1), x ≠ -1
f⁻¹(x)를 구해보세요.

→ y = 1 / (x + 1)
→ x = 1 / (y + 1)
→ x(y + 1) = 1
→ xy + x = 1
→ xy = 1 - x
→ y = (1 - x) / x

정답: f⁻¹(x) = (1 - x) / x, 단 x ≠ 0

---

📚 친절샘 요약 정리

• 역함수란? f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a
• 항등함수: f(f⁻¹(x)) = x, f⁻¹(f(x)) = x
• 정의역과 치역이 서로 바뀐다
• 그래프는 y = x에 대해 대칭
• 점 (a, b)가 f의 그래프에 있다면, (b, a)는 f⁻¹의 그래프에 있다