여러가지 유리식의 풀이 - 고등학교 공통수학 2

안녕하세요!
오늘도 수학의 숲을 함께 걸어갈 여러분의 수학 길잡이, 친절샘입니다 😊
오늘은 고등학교 수학에서 자주 등장하는 유리식의 다양한 형태와 풀이 방법에 대해 다뤄보겠습니다.

“분수가 나오면 일단 겁먹는 학생들!”
걱정하지 마세요. 원리를 차근차근 이해하면 유리식도 간단한 퍼즐처럼 풀 수 있어요.

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✔️ 유리식이란?

유리식이란 분자와 분모에 다항식이 들어있는 식을 말해요.
즉, 다음과 같은 형태죠:

(다항식)/(다항식)

예를 들어,

• (1/x), ((x+2)/(x-3)), ((x^2 + 3)/(x^2 - 1)) 등이 대표적인 유리식입니다.

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✔️ 유리식의 해법 전략

유리식을 풀 때는 아래 네 가지 전략을 기억하세요!

1. 공통 분모 만들기
2. 약분 및 인수분해 활용
3. 곱셈은 바로 계산, 나눗셈은 역수 곱하기
4. 분모가 0이 되는 값은 제외 (정의역 확인)

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✔️ 유형 ① 공통 분모 만들기

예제 1

(1/x) + (2/(x+1))
→ 공통 분모는 x(x+1)
→ (x+1 + 2x)/(x(x+1))
→ (3x + 1)/(x(x+1))

분모가 0이 되면 안 되므로, x ≠ 0, -1

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✔️ 유형 ② 인수분해를 활용한 덧셈

예제 2

(1/(x+2)) - (2/(x^2 - 4))

x^2 - 4 = (x+2)(x-2)

→ 공통 분모는 (x+2)(x-2)

(1/(x+2)) = (x-2)/((x+2)(x-2))
(2/(x^2 - 4)) = 2/((x+2)(x-2))

→ ((x-2) - 2)/((x+2)(x-2))
→ (x - 4)/((x+2)(x-2))

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✔️ 유형 ③ 유리식의 곱셈

예제 3

(x/(x+1)) * ((x+1)/(x-3))

→ (x * (x+1)) / ((x+1) * (x-3))
→ 약분 후: x / (x - 3)

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✔️ 유형 ④ 유리식의 나눗셈

예제 4

((x+2)/(x-1)) ÷ (3x/(x+2))

→ 나눗셈은 역수 곱하기!

→ ((x+2)/(x-1)) * ((x+2)/(3x))
→ ((x+2)^2)/(3x(x - 1))

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✔️ 유형 ⑤ 유리식의 통분된 식 정리

예제 5

((x^2 + 3x + 2)/(x^2 - 1)) - ((x + 2)/(x - 1))

먼저 인수분해부터!

x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)

→ ((x+1)(x+2))/((x+1)(x-1)) - (x+2)/(x - 1)
→ 약분: (x+2)/(x - 1) - (x+2)/(x - 1)
→ 0

이런 식으로 식이 완전히 없어지는 경우도 있답니다!

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✔️ 실전 문제 연습

문제 1

((2x)/(x^2 - 4)) + (3/(x + 2)) 의 값을 간단히 하세요.

힌트: x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)

→ 공통 분모: (x + 2)(x - 2)
→ 첫 번째 항: (2x)/((x + 2)(x - 2))
→ 두 번째 항: (3(x - 2))/((x + 2)(x - 2))

→ (2x + 3x - 6)/((x + 2)(x - 2))
→ (5x - 6)/((x + 2)(x - 2))

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✔️ 주의해야 할 점: 정의역 제한!

분모에 있는 식이 0이 되는 값은 반드시 정의역에서 제외해야 해요.
이를 깜빡하고 그대로 계산하면 시험에서 ‘감점’이 될 수 있으니 주의하세요!

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✔️ 친절샘의 정리

• 유리식의 사칙연산은 정의역 확인 → 공통분모 → 약분 → 정리 순서로!
• 문제마다 인수분해나 역수 활용 등 풀이법이 달라요.
• 실수를 줄이는 가장 좋은 방법은, 한 줄씩 쓰면서 정리하는 것!