분수함수 - 고등학교 공통수학 2

안녕하세요!
수학의 복잡한 개념도 쉽게 풀어드리는 여러분의 수학 선생님, 친절샘입니다 😊
오늘은 고등학교 함수 단원에서 꼭 알아야 할 분수함수에 대해 함께 공부해볼게요.
‘분수함수’라고 해서 겁먹지 마세요. 차근차근 풀어보면 정말 재미있는 함수랍니다!

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✔️ 분수함수란?

분수함수는 이름 그대로 분수꼴로 이루어진 함수를 말합니다.

정의: 분수함수란 분모에 문자가 포함되어 있는 함수로,
일반적으로 다음과 같은 형태를 갖습니다.
f(x) = 1/x, f(x) = 1/(x - a), f(x) = a/(x - b) + c 등

즉, 분모에 x가 들어가 있는 함수는 모두 분수함수로 볼 수 있어요!

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✔️ 분수함수의 기본 형태

1. f(x) = 1/x

• 정의역: x ≠ 0
• 치역: y ≠ 0
• 점근선: x = 0, y = 0
• 특징: 원점에 대해 대칭(홀함수)

2. f(x) = 1/(x - a)

• 정의역: x ≠ a
• 수직 점근선: x = a
• 수평 점근선: y = 0
• x축 방향으로 a만큼 평행이동한 형태

3. f(x) = a/(x - b) + c

• 정의역: x ≠ b
• 수직 점근선: x = b
• 수평 점근선: y = c
• 그래프는 원점 대칭 구조에서 평행이동된 형태

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✔️ 분수함수 그래프의 특징

• 점근선이 존재합니다.
  → 분모가 0이 되는 x 값에서는 그래프가 끊어지고, 그 x 값에서 수직 점근선이 생겨요.
  → y 값이 일정한 값으로 수렴하면, 그 y 값에 수평 점근선이 생깁니다.
• 그래프가 대칭 구조를 가질 수 있어요.
  예를 들어 f(x) = 1/x 는 원점 대칭 (사분면 1과 3에 분포)

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✔️ 자주 등장하는 분수함수 예제

예제 1

다음 함수의 정의역을 구하시오.
f(x) = 3/(x - 4)

→ 분모가 0이 되면 안 되므로 x ≠ 4
→ 따라서 정의역은 모든 실수 중 x ≠ 4

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예제 2

f(x) = -2/(x + 1) + 3 에서 점근선을 구하시오.

→ 수직 점근선: x = -1
→ 수평 점근선: y = 3

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예제 3

f(x) = (x + 1)/(x - 2) 의 그래프를 설명해보세요.

→ 분모 0이 되는 x = 2 에서 수직 점근선
→ 최고차항의 차수가 같으므로 y = 계수비 = 1/1 = 1 이 수평 점근선
→ 정의역: x ≠ 2

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✔️ 분수함수의 실수 유형과 팁

① 분모를 0으로 만들면 안 된다!
함수의 정의역에서 반드시 분모 = 0 이 되는 값을 제외해야 해요.

② 점근선을 헷갈리지 마세요.
수직 점근선은 분모 = 0, 수평 점근선은 x → ∞ 일 때 y 값의 한계

③ 함수의 이동을 시각화하면 그래프 이해가 쉬워져요.
기본형 f(x) = 1/x 에서 a만큼 x축, c만큼 y축 이동하면 전체 구조도 따라 이동합니다.

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✔️ 친절샘의 개념 요약

• 분수함수는 분모에 x가 포함된 함수
• 그래프는 끊김과 점근선이 특징
• 점근선을 파악하면 그래프를 빠르게 이해할 수 있음
• 반드시 정의역에서 분모 0 되는 값은 제외
• 그래프 이동은 f(x) = a/(x - b) + c 로 이해하면 편해요

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📝 연습 문제로 마무리!

문제

함수 f(x) = 2/(x - 3) + 1 의 그래프에 대해 다음을 구하세요.

1. 정의역
2. 점근선
3. x = 2일 때의 함수값 f(2)

정답

1. 정의역: x ≠ 3
2. 수직 점근선: x = 3, 수평 점근선: y = 1
3. f(2) = 2/(-1) + 1 = -2 + 1 = -1