분수함수의 역함수 - 고등학교 공통수학 2

안녕하세요, 여러분!
오늘도 친절하게 수학 개념을 알려드리는 친절샘입니다 😊

이번 시간에는 다소 어렵게 느껴질 수 있는 주제, 바로 **“분수함수의 역함수”**에 대해
차근차근 살펴볼 거예요. 이름만 들어도 복잡할 것 같지만, 겁먹지 말고 함께 도전해보아요!

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✅ 먼저, ‘역함수’란?

함수 f(x)가 있을 때, 이를 입력값과 출력값을 뒤집은 함수를 우리는 역함수라고 불러요.
즉, f(x) = y 라면, 역함수는 x = f⁻¹(y) 형태로 표현됩니다.

예를 들어,
f(x) = 2x + 3 이라면 → f⁻¹(x) = (x - 3) / 2

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✅ 그럼 ‘분수함수’는?

분수함수는 분모에 x가 포함된 함수로,
대표적인 예는 f(x) = 1/x, f(x) = 1/(x - a) + b, f(x) = (ax + b)/(cx + d) 와 같은 형태예요.

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✅ 본론! 분수함수의 역함수 구하는 방법

분수함수의 역함수를 구하는 가장 기본적인 방법은 다음 3단계입니다.

[1단계] y = f(x) 라고 놓는다

[2단계] x와 y의 위치를 바꾼다

[3단계] y에 대해 다시 정리하여 f⁻¹(x)를 만든다

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✔️ 예제 1: f(x) = 1/x

1단계: y = 1/x
2단계: x = 1/y
3단계: 양변에 y를 곱해 정리 → y = 1/x
→ 따라서 f⁻¹(x) = 1/x

→ 기본형은 자기 자신이 역함수예요! (대칭축: y = x)

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✔️ 예제 2: f(x) = 1/(x - 2)

1단계: y = 1/(x - 2)
2단계: x = 1/(y - 2)
3단계: 양변을 정리

x(y - 2) = 1
xy - 2x = 1
xy = 1 + 2x
y = (1 + 2x) / x

→ 따라서 f⁻¹(x) = (1 + 2x) / x

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✔️ 예제 3: f(x) = (x + 1)/(x - 3)

1단계: y = (x + 1)/(x - 3)
2단계: x = (y + 1)/(y - 3) ← 이건 어렵죠?
그럴 땐, 분수식 양변에 분모 곱해서 정리해요.

x = (y + 1)/(y - 3)
x(y - 3) = y + 1
xy - 3x = y + 1
xy - y = 3x + 1
y(x - 1) = 3x + 1
y = (3x + 1)/(x - 1)

→ 따라서 f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x - 1)

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🧠 핵심 개념 요약 – 분수함수의 역함수, 이렇게 기억하세요!

• 1/x 처럼 간단한 형태는 자기 자신이 역함수예요
• 1/(x - a) + b 형태는 먼저 y = 1/(x - a), 그런 다음에 b를 포함해 정리
• (ax + b)/(cx + d) 는 역함수 구하기가 조금 복잡하므로, 양변에 분모를 곱해서 치환 정리
• 역함수는 y = x 대칭임을 기억하세요!

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✍️ 연습문제

문제 1

함수 f(x) = (2x - 1)/(x + 4)의 역함수 f⁻¹(x)를 구하세요.

문제 2

역함수 f⁻¹(x) = 1/x 인 함수 f(x)를 구하세요.

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정답

문제 1 풀이

1. y = (2x - 1)/(x + 4)
2. x = (2y - 1)/(y + 4)
3. x(y + 4) = 2y - 1
   → xy + 4x = 2y - 1
   → xy - 2y = -4x - 1
   → y(x - 2) = -4x - 1
   → y = (-4x - 1)/(x - 2)

문제 2 풀이
f⁻¹(x) = 1/x 이면, f(x) = 1/x
(자기 자신이 역함수인 기본형)