무리함수 - 고등학교 공통수학 2

안녕하세요, 여러분!
수학을 따뜻하게 풀어주는 친절샘이에요 😊
오늘은 고등학교 수학에서 꼭 알아야 할 무리함수에 대해 배워볼 거예요.

이름만 들으면 복잡하고 어려울 것 같죠?
하지만 우리가 알고 있는 **루트(√)**와 친해지기만 하면 훨씬 쉬워진답니다.

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✅ 무리함수란?

무리함수는 이름 그대로 ‘무리식이 포함된 함수’를 말해요.

무리함수란?
식에 루트 기호(√) 가 들어가 있고,
그 안에 x가 포함되어 있는 함수를 무리함수라고 해요.

예를 들어,

• y = √x
• y = √(x + 2)
• y = √(3 - x)

이런 함수들이 바로 무리함수예요!

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✅ 무리함수의 정의역

무리함수를 다룰 때 가장 먼저 확인해야 할 것은 바로 정의역이에요.

왜냐하면, 루트 안에 있는 식은 음수가 되면 안 되기 때문이에요.
(실수 범위에서는 √음수는 정의되지 않아요!)

예시 1)
함수 y = √x 의 정의역은?

→ √x 가 정의되려면 x ≥ 0 이어야 해요.
따라서 정의역은 x ≥ 0 입니다.

예시 2)
함수 y = √(2x - 4) 의 정의역은?

→ 2x - 4 ≥ 0
→ x ≥ 2

따라서 정의역은 x ≥ 2 가 됩니다.

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✅ 무리함수의 기본 형태

가장 기본적인 무리함수는 y = √x 입니다.
이 식은 x가 증가할수록 y도 서서히 증가하는 함수예요.

그 외에 아래와 같은 변형 형태도 자주 나와요:

1. y = √(x - a) : 오른쪽으로 a만큼 평행이동
2. y = √(x + a) : 왼쪽으로 a만큼 평행이동
3. y = √x + b : 위로 b만큼 평행이동
4. y = -√x : x축 대칭 이동 (그래프가 아래 방향)

그래프는 다루지 않지만, 변화는 꼭 이해해두세요!

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✅ 무리함수 예제

예제 1
함수 y = √(x - 3)의 정의역을 구하시오.

풀이:
x - 3 ≥ 0
→ x ≥ 3
따라서 정의역은 x ≥ 3

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예제 2
다음 중 무리함수가 아닌 것은?

1. y = √x
2. y = √(x + 1)
3. y = 1 / √x
4. y = x² + 1

정답: 4번
→ y = x² + 1 은 루트 기호가 없으므로 무리함수가 아니에요.

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✅ 무리함수의 활용 팁

• 문제에서 루트가 보이면 정의역 먼저 확인!
• 함수 안에 있는 식을 ≥ 0 으로 두고 부등식 푸는 연습을 많이 하세요.
• 문제를 풀 때는 항상 "루트 안이 음수가 될 수 있는가?"를 점검해야 합니다.

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✅ 연습문제

문제 1
함수 y = √(5 - x)의 정의역을 구하시오.

문제 2
함수 y = √(x² - 9)의 정의역은?

문제 3
무리함수 y = √(x + 4) + 2 에서 정의역과 치역을 각각 구하시오.

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📝 정답 해설

1번 해설:
5 - x ≥ 0 → x ≤ 5 → 정의역: x ≤ 5

2번 해설:
x² - 9 ≥ 0 → x ≤ -3 또는 x ≥ 3
→ 정의역: x ≤ -3 또는 x ≥ 3

3번 해설:
√(x + 4) 가 정의되려면 x + 4 ≥ 0 → x ≥ -4
함수는 y = √(x + 4) + 2 이므로 최소값은 √0 + 2 = 2
→ 정의역: x ≥ -4, 치역: y ≥ 2

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✅ 친절샘 한 마디 정리

• 무리함수는 루트 안에 x가 있는 함수!
• 루트 안은 항상 0 이상이어야 한다는 점을 꼭 기억하세요.
• 정의역을 찾을 땐 루트 안을 ≥ 0으로 놓고 부등식을 푸는 게 핵심이에요.