순열의 활용 - 고등학교 공통수학 1

[고등수학 개념정리] 순열의 활용 – 친절샘과 함께 푸는 순서의 마법!

안녕하세요, 수학을 쉽게 알려드리는 여러분의 선생님 친절샘입니다 😊
오늘은 경우의 수에서 정말 자주 등장하는 개념인 순열의 활용에 대해 알아볼 거예요.

순열(permutation)은 단순히 “나열하는 경우의 수”를 넘어서,
다양한 조건이 주어진 문제에 어떻게 적용해야 하는지가 시험의 핵심이에요!

이 글을 통해 순열의 개념을 다양한 방식으로 활용하는 연습을 해보며,
내신과 수능에서 단골로 나오는 순열 문제에 당당히 맞설 수 있게 해드릴게요.

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✅ 복습: 순열이란?

순열은 “순서를 고려해서 배열하는 경우의 수”입니다.
n개의 항목 중 r개를 골라 순서 있게 나열하는 경우의 수는 다음과 같이 계산해요:

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예) 5명 중 3명을 뽑아 차례로 줄 세우는 경우의 수:
5P3 = 5 × 4 × 3 = 60가지

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✅ 순열의 대표 활용 유형

순열의 활용은 크게 다음과 같은 유형으로 나눌 수 있어요.

1. 모두 다른 항목의 나열
2. 특정 조건을 만족하는 순열
3. 같은 것이 있는 순열
4. 원순열(원형 배열)
5. 고정/제한 조건이 있는 나열

각각 하나씩 친절하게 예제와 함께 살펴봅시다!

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✅ 유형 1: 모두 다른 항목 나열

예제 1
알파벳 A, B, C, D를 나열하는 방법의 수는?

→ 4개 모두 사용 → 4P4 = 4! = 24가지

✅ 정답: 24

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✅ 유형 2: 특정 조건이 있는 순열

예제 2
A, B, C, D 중에서 A로 시작하는 세 글자 배열은 몇 가지?

→ A는 첫 번째 자리로 고정 → 남은 두 자리를 B, C, D 중에서 순서 있게 나열
→ 3P2 = 6가지

✅ 정답: 6

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예제 3
1, 2, 3, 4, 5 중에서 세 수를 뽑아 짝수로 끝나는 세 자리 수는?

• 마지막 자리에 올 수 있는 짝수: 2, 4
  → 2가지 선택
• 나머지 두 자리: 4개 중 2개를 순서 있게 나열 → 4P2 = 12

→ 전체 경우의 수: 2 × 12 = 24가지

✅ 정답: 24

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✅ 유형 3: 같은 것이 있는 순열

같은 문자가 섞여 있을 때는 나눠줘야 해요!

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예제 4
단어 “MOM”의 알파벳을 나열하는 방법은?

→ 총 3글자 (M 2개, O 1개)

✅ 정답: 3

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✅ 유형 4: 원순열

원형으로 배치하는 경우, 시작점이 정해지지 않으므로
전체 경우의 수는 (n−1)!(n - 1)!(n−1)!

예제 5
4명을 원형 테이블에 앉히는 경우의 수?

→ (4 - 1)! = 3! = 6

✅ 정답: 6

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✅ 유형 5: 고정된 자리에 누구를 배치하는 문제

예제 6
5명의 학생 중 A는 항상 첫 번째, B는 세 번째 자리에만 앉는다고 할 때 나열의 경우의 수?

→ 자리: 총 5자리

• A는 1번 고정, B는 3번 고정
• 나머지 3명을 3개의 자리(2, 4, 5번)에 나열
  → 3! = 6

✅ 정답: 6

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🧩 실전 연습문제

문제 1
“APPLE”의 알파벳을 모두 나열할 때, 경우의 수는?

→ P 2개가 반복 →

문제 2
5개의 숫자 중 3개를 골라 가장 큰 숫자가 맨 뒤에 오는 경우는?

• 맨 뒤 자리: 1개 선택 (5개 중에서)
• 앞의 두 자리: 선택한 수보다 작은 수 중 2개를 순서 있게 → 조건부 순열로 나눠 계산 필요

(단계별 접근 문제이므로 실제 시험 대비 연습용)

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✅ 친절샘의 정리 요약 😊

✔ 순열은 “순서를 고려한 배열”이다
✔ 기본 공식은

✔ 활용 유형은 다음과 같아요:

1. 모든 항목 나열
2. 조건이 있는 나열 (고정, 끝자리 조건 등)
3. 같은 것 포함된 나열 (반복되는 문자 처리)
4. 원형 배열
5. 자리 제한 조건

✔ 조건이 있을 때는 그 조건을 먼저 반영하고 나머지 자리수를 계산하는 순서로 접근하면 실수 줄일 수 있어요.