계승, 팩토리얼(!) - 고등학교 공통수학 1

[고등수학 개념정리] 계승, 팩토리얼(!) – 친절샘과 함께 수학 기초 탄탄하게!

안녕하세요, 수학이 쉬워지는 따뜻한 설명의 주인공 친절샘입니다 😊
오늘은 경우의 수 단원의 기본 중의 기본,
바로 계승(factorial), 팩토리얼(!) 에 대해 알아볼 거예요.

어쩌면 이름은 조금 낯설 수 있지만,
수학의 다양한 영역에서 정말 자주 등장하고 중요한 개념이에요.
특히 순열, 조합, 이항정리, 확률 문제의 기초가 바로 팩토리얼에 있죠!

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✅ 계승이란?

계승, 영어로는 팩토리얼(factorial) 이라고 해요.
기호로는 **느낌표 '!'**를 사용합니다.

n! (n 팩토리얼) 이란?
1부터 n까지의 모든 자연수를 차례로 곱한 값을 말합니다.

공식적으로는 이렇게 정의해요:

📌 예시

• 1! = 1
• 2! = 2 × 1 = 2
• 3! = 3 × 2 × 1 = 6
• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

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✅ 0! 은 왜 1일까?

많은 학생들이 가장 헷갈려하는 부분이 바로 이거예요.

왜 0! = 1 이죠?
0을 곱하면 0이 되어야 하는 거 아닌가요?

좋은 질문이에요!

이건 정의에 의한 약속이에요.
0! = 1로 정의하지 않으면 수학의 여러 공식에서 일관성이 깨지기 때문입니다.

예를 들어, 조합 공식에서

이때 r = 0이면 분모에 0!이 들어가는데,
0!이 1이 아니면 계산이 안 맞아 떨어지죠.
그래서 0! = 1로 정해둔 거예요.

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✅ 팩토리얼의 활용: 순열과 조합

팩토리얼은 다양한 수학 개념에서 사용됩니다.

📍 순열 공식

예) 5명 중에서 2명을 순서 있게 뽑는 방법:
5P2 = 5! / 3! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (3 × 2 × 1) = 20

📍 조합 공식

​

예) 6명 중 2명을 순서 상관없이 뽑는 방법:
6C2 = 6! / (2! × 4!) = (6 × 5) / (2 × 1) = 15

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📘 예제 1

6!의 값을 구하세요.

✅ 정답: 720

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📘 예제 2

​

→ 7 × 6 × (5! / 5!) = 7 × 6 = 42
✅ 정답: 42

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📘 예제 3

n! = 120일 때, n의 값을 구하세요.

→ 5! = 120
✅ 정답: n = 5

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✅ 팁! 팩토리얼 계산을 빠르게 하는 법

팩토리얼은 수가 조금만 커져도 값이 매우 커집니다.
예를 들어, 10! = 3628800

그래서 계산할 때는, 필요한 만큼만 곱하고 나머지는 약분으로 처리하는 게 핵심이에요.

예)

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🧩 실전 연습문제

문제 1
9!의 값을 구하시오.
→ 362880

문제 2

​

→ (6 × 5 × 4) / (3 × 2 × 1) = 20

문제 3
n! = 5040일 때, n의 값을 구하시오.
→ 7! = 5040 → n = 7

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✅ 친절샘의 마무리 정리 😊

✔ 계승(팩토리얼)은 1부터 n까지의 곱
✔ 기호는 느낌표 (!)
✔ 0! = 1은 수학의 일관성을 위한 약속
✔ 순열, 조합, 확률 등에서 광범위하게 사용됨
✔ 계산할 땐 꼭 약분을 활용해 실수 줄이기!

팩토리얼은 단순한 계산 개념이 아니라
수학의 다양한 구조를 연결해주는 핵심 도구예요.

기본기를 튼튼히 하면, 그다음 수학이 쭉쭉 뻗어나가게 될 거예요.
오늘도 수학 자신감을 키우는 따뜻한 시간, 친절샘이었습니다 😊