이차부등식의 해와 판별식 - 고등학교 공통수학 1

[고등수학 개념정리] 이차부등식의 해와 판별식 – 친절샘이 알려주는 실수 없는 풀이법!

안녕하세요, 수학을 차근차근 쉽게 알려주는 친절샘입니다 😊

오늘은 이차부등식의 해를 판별식과 함께 분석하는 방법에 대해 살펴보려고 해요.

이차부등식의 해를 정확하게 구하기 위해선
그 식이 항상 양수인지, 음수인지, 또는 특정 구간에서만 부호가 바뀌는지를 먼저 판단해야 하는데,
이때 매우 유용하게 쓰이는 도구가 바로 판별식이에요.

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✅ 복습: 이차부등식이란?

이차부등식이란, 이차식이 부등호(>, <, ≥, ≤)와 함께 주어진 부등식입니다.

형태는 다음과 같아요.

• ax² + bx + c > 0
• ax² + bx + c < 0
• ax² + bx + c ≥ 0
• ax² + bx + c ≤ 0

이때 ax² + bx + c 는 이차식, 즉 x²가 포함된 식이죠.
이차방정식처럼 보일 수 있지만, 부등식이므로 해는 수의 집합, 즉 구간이라는 점이 포인트입니다!

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✅ 판별식 D란?

판별식 D는 이차방정식의 근의 존재 여부를 판단해주는 지표입니다.

이차방정식 ax² + bx + c = 0 에서,

판별식 D = b² - 4ac

이때 D의 값에 따라 방정식의 해가 달라지죠.

• D > 0 → 실근 2개 (서로 다른 두 해)
• D = 0 → 중근 1개 (하나의 해가 두 번 반복)
• D < 0 → 실근 없음 (허근)

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✅ 이차부등식에서 판별식의 역할

이차부등식은 방정식의 해가 부호가 바뀌는 지점이므로,
판별식을 이용해 해의 존재 유무와 부호의 전체 흐름을 파악할 수 있어요.

즉, 이차부등식 ax² + bx + c (>, <, ≥, ≤) 0의 해를 구할 때는 다음과 같은 흐름으로 판단합니다.

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🧠 해석 요약표 (D 기준)

부등식 형태D < 0D = 0D > 0

f(x) > 0	항상 참 (a > 0), 해 없음 (a < 0)	항상 참 (a > 0), 해 없음 (a < 0)	해: x < α 또는 x > β
f(x) < 0	해 없음 (a > 0), 항상 참 (a < 0)	해 없음 (a > 0), 항상 참 (a < 0)	해: α < x < β
f(x) ≥ 0	모든 실수 x (a > 0), 해 없음 (a < 0)	모든 실수 x (a > 0), 해 없음 (a < 0)	해: x ≤ α 또는 x ≥ β
f(x) ≤ 0	해 없음 (a > 0), 모든 실수 x (a < 0)	x = α만 해	해: α ≤ x ≤ β

※ α, β는 이차방정식의 실근입니다.
※ 항상 참 = 모든 실수 x가 해 / 해 없음 = 공집합

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📘 예제 1

x² - 4x + 5 > 0 을 푸시오.

① 판별식 계산: D = (-4)² - 4×1×5 = 16 - 20 = -4

→ D < 0 이고, a = 1 > 0 이므로 이차식은 항상 양수

✅ 해: 모든 실수 x

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📘 예제 2

x² - 2x + 1 ≤ 0

① 인수분해: (x - 1)² ≤ 0
→ 판별식 D = 0 → 중근 x = 1

→ (x - 1)² ≤ 0 은 x = 1에서만 성립

✅ 해: x = 1

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📘 예제 3

x² - 5x + 6 < 0

① 인수분해: (x - 2)(x - 3) < 0
→ 실근 x = 2, x = 3 → D > 0

이차식의 부호가 < 0 이므로, x가 두 근 사이일 때 부등식 성립

✅ 해: 2 < x < 3

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📘 예제 4

-x² + 4x - 3 > 0

① a = -1 < 0
② D = 16 - 4×(-1)×(-3) = 16 - 12 = 4 → D > 0

해: 두 실근 사이에서 부등식 성립

→ 인수분해: -(x - 1)(x - 3) > 0 → (x - 1)(x - 3) < 0
→ 해: 1 < x < 3

✅ 정답: 1 < x < 3

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🧩 실전 연습문제

문제 1
x² + 2x + 5 < 0
→ D = 4 - 20 = -16 < 0 → 항상 양수 → 해 없음

문제 2
2x² - 8x + 8 ≥ 0
→ D = 64 - 64 = 0 → 중근 x = 2 → 해: 모든 실수 x (a > 0)

문제 3
x² + 3x - 10 ≤ 0
→ 근: x = -5, 2 → 해: -5 ≤ x ≤ 2

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✅ 친절샘의 정리 요약 😊

✔ 이차부등식에서 판별식은 해의 개수와 부호 분포를 파악하는 핵심 도구
✔ 실근이 없는 경우 → 항상 양수 or 음수
✔ 중근일 경우 → 해당 값만 해 또는 항상 성립 여부 판별
✔ 실근이 두 개일 경우 → 수직선 상에서 부호가 바뀌는 구간을 찾아라!

부등식의 해는 단순한 해가 아니라 범위이기 때문에,
단순 계산보다 상황을 파악하고 부호를 추론하는 사고력이 중요해요.

시험에서 “판별식”이 언급되지 않아도,
D 값을 계산하면 실수 없이 해를 구할 수 있는 무기가 된답니다!