이차부등식의 해와 이차함수의 그래프 - 고등학교 공통수학 1

[고등수학 개념정리] 이차부등식의 해와 이차함수의 그래프 – 친절샘과 함께라면 막힘없어요!

안녕하세요, 수학을 쉽게 풀어주는 여러분의 선생님 친절샘입니다 😊
오늘은 수학에서 매우 중요한 개념,
이차부등식의 해를 이차함수의 그래프와 연결지어 파악하는 방법을 함께 정리해보려고 해요.

"이차부등식은 이차방정식처럼 푸는 거 아닌가요?"
라고 생각하는 친구들,
맞긴 맞지만! 그래프를 함께 생각하면 훨씬 빠르고 정확하게 풀이할 수 있어요.

2분할 수학노트로 수학공부 열심히 해보세요!!! 

https://smartstore.naver.com/muadeep/products/11680558051

2분할 수학노트 아이코닉 오납노트 베이직 : 무아딥

---

✅ 이차부등식이란?

이차부등식이란, 이차함수 f(x) = ax² + bx + c의 값이 0보다 크거나 작을 때의 x의 범위를 찾는 부등식을 말합니다.

예를 들어

• f(x) > 0
• f(x) < 0
• f(x) ≥ 0
• f(x) ≤ 0

이러한 부등식들은 이차함수의 그래프가 x축 위에 있는지 아래에 있는지를 묻는 것과 같아요.

---

✅ 이차함수의 그래프와 연결해서 생각하기

이차함수의 그래프는 포물선입니다.

• a > 0일 때는 아래에서 위로 열린 포물선 (웃는 얼굴 😊)
• a < 0일 때는 위에서 아래로 열린 포물선 (슬픈 얼굴 😢)

이 포물선이 x축과 교차하는 점이 바로 이차방정식의 해이고,
그 해를 기준으로 그래프가 위쪽(양수)인지 아래쪽(음수)인지를 판단하면 됩니다.

---

📘 예제 1

x² - 5x + 6 > 0

① 이차방정식 x² - 5x + 6 = 0 의 해를 구합니다.
→ 인수분해: (x - 2)(x - 3) = 0 → 해: x = 2, x = 3

② a = 1 > 0이므로 웃는 얼굴 포물선

③ f(x) > 0 이니까, 그래프가 x축 위에 있는 구간을 찾습니다.
→ x < 2 또는 x > 3

✅ 해: x < 2 또는 x > 3

---

📘 예제 2

-x² + 4x - 3 ≥ 0

① a = -1 < 0 → 슬픈 얼굴 포물선

② 이차방정식 -x² + 4x - 3 = 0
→ x² - 4x + 3 = 0 → (x - 1)(x - 3) = 0
→ 해: x = 1, x = 3

③ f(x) ≥ 0은 그래프가 x축 위 또는 접할 때

→ 해: 1 ≤ x ≤ 3

✅ 해: 1 ≤ x ≤ 3

---

📘 예제 3

x² + 2x + 5 < 0

① 판별식 D = 4 - 20 = -16 < 0 → 실근 없음
② a = 1 > 0 → 웃는 얼굴 포물선
→ 실근이 없고 포물선이 x축 위에 있다는 뜻!

그럼 f(x) < 0인 구간은 존재할까요?
❌ 없음!

✅ 해: 해 없음 (공집합)

---

✅ 해석 전략 요약 (그래프와 연계)

• D > 0 (실근 2개): 해를 기준으로 3개의 구간 나누기
  → 양수일 때: 바깥쪽 (x < α 또는 x > β)
  → 음수일 때: 안쪽 (α < x < β)
• D = 0 (중근): 접하는 그래프
  → ≥ 0 또는 ≤ 0: 모든 실수 또는 하나의 값만 해
  → > 0 또는 < 0: 해 없음
• D < 0 (허근): x축과 만나지 않음
  → a > 0이면 항상 양수 → f(x) > 0은 항상 참, f(x) < 0은 해 없음
  → a < 0이면 항상 음수 → f(x) < 0은 항상 참, f(x) > 0은 해 없음

---

🧩 실전 연습문제

문제 1
x² - 4x + 3 ≤ 0
→ 해: x = 1, x = 3 → a > 0
→ 해: 1 ≤ x ≤ 3

문제 2
x² - 2x + 1 > 0
→ 중근 x = 1 → (x - 1)² > 0
→ 1 제외한 모든 실수

✅ 해: x < 1 또는 x > 1

문제 3
-x² + 2x + 3 < 0
→ a < 0 → 슬픈 포물선
→ 해: x = -1, x = 3
→ f(x) < 0 → 바깥쪽

✅ 해: x < -1 또는 x > 3

문제 4
2x² + 3x + 5 ≥ 0
→ D < 0, a > 0 → 항상 양수
✅ 해: 모든 실수

---

✅ 친절샘의 정리 요약 😊

✔ 이차부등식은 단순한 계산이 아닌, 이차함수 그래프의 부호 해석 문제
✔ 이차방정식의 해를 구한 후, 그래프가 x축과 어떻게 교차하는지를 확인
✔ 그래프의 위/아래 위치를 통해 해의 범위를 정하면, 실수 없이 정확하게 풀 수 있어요!

부등식을 수직선이 아닌 그래프의 시선으로 바라보는 능력,
이게 바로 이차부등식 풀이의 진짜 실력입니다 💪