이차부등식, 이차부등식의 해 - 고등학교 공통수학 1

[고등수학 개념정리] 이차부등식과 그 해 – 친절샘과 함께라면 헷갈릴 틈이 없어요!

안녕하세요, 수학이 쉬워지는 마법 같은 설명을 드리는 친절샘입니다 😊
오늘은 많은 학생들이 처음엔 어렵다고 느끼지만, 알고 나면 재미있게 풀 수 있는 주제인
이차부등식과 그 해에 대해 자세히 알려드릴게요.

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✅ 이차부등식이란?

이차부등식이란, 이차식(2차항이 포함된 식)이 부등호(>, <, ≥, ≤)와 함께 있는 부등식을 말합니다.

형태는 다음과 같습니다.

• ax² + bx + c > 0
• ax² + bx + c < 0
• ax² + bx + c ≥ 0
• ax² + bx + c ≤ 0

여기서 중요한 포인트는 이차방정식을 풀던 방식과 비슷하지만,
등호 대신 부등호가 들어가면서 해가 범위로 주어진다는 것이에요!

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✅ 이차부등식 풀이의 핵심 전략

이차부등식을 푸는 핵심은 이차방정식의 해를 이용해서 부호가 바뀌는 지점을 찾고, 부호를 따져서 해를 구하는 것이에요.

이차부등식을 푸는 순서는 다음과 같습니다.

1. 좌변을 인수분해하여 0과의 크기 비교 형태로 바꾼다.
2. 방정식 ax² + bx + c = 0의 해(근)를 구한다.
3. 부등호에 따라 부호가 어떤 구간에서 성립하는지 판단한다.
4. 근의 위치를 기준으로 수직선 상에서 부호의 변화를 따져 해를 결정한다.

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📘 예제 1

다음 부등식을 풀어라.

x² - 5x + 6 > 0

① 인수분해
x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

부등식은: (x - 2)(x - 3) > 0

② 부호가 언제 양수인지 판단

이차식의 곱이 양수라는 것은 두 인수가 같은 부호라는 뜻이에요.

• 둘 다 양수 → x > 3
• 둘 다 음수 → x < 2

따라서 정답은: x < 2 또는 x > 3

✅ 해: x < 2 또는 x > 3

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📘 예제 2

x² + 4x + 3 ≤ 0

① 인수분해
x² + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)

② 이 부등식은 ≤ 0이므로, 곱이 0이거나 음수일 때 포함

• (x + 1)(x + 3) ≤ 0
  → 두 인수의 곱이 0이거나 음수인 부분은 두 인수의 부호가 반대일 때

즉, -3 ≤ x ≤ -1

✅ 해: -3 ≤ x ≤ -1

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📘 예제 3

x² - 4x + 4 ≥ 0

① 인수분해
x² - 4x + 4 = (x - 2)²

② 제곱식은 항상 0 이상이므로

→ (x - 2)² ≥ 0 은 항상 참
단, "="이 포함되어 있어 모든 실수 x에 대해 성립

✅ 해: 모든 실수 x

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📘 예제 4

x² + 2x + 5 < 0

① 판별식 확인
x² + 2x + 5는 인수분해가 안 되는 식이에요.
D = b² - 4ac = 4 - 20 = -16 → 실근이 없음

그리고 x² + 2x + 5는 항상 양수인 이차식입니다. (a > 0, 실근 없음)

그러면 부등식 x² + 2x + 5 < 0은 언제나 성립하지 않음

✅ 해: 해 없음 (공집합)

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🧠 친절샘 꿀팁! 부등호에 따른 해 해석 방법

이차부등식 형태해석 방식

ax² + bx + c > 0	그래프가 x축 위에 있는 구간 (밖)
ax² + bx + c < 0	그래프가 x축 아래에 있는 구간 (안)
ax² + bx + c ≥ 0	x축 위 또는 위쪽에 있는 구간 포함
ax² + bx + c ≤ 0	x축 아래 또는 접점 포함하는 구간

※ 이차방정식의 해가 두 개일 때: 해를 기준으로 세 구간으로 나눠서 부호 판단
※ 해가 한 개인 경우(중근): 부호가 바뀌지 않음 → 주의 필요!

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🧩 실전 연습 문제

문제 1
x² - x - 6 < 0
→ (x - 3)(x + 2) < 0
→ 해: -2 < x < 3

문제 2
x² + 6x + 9 ≥ 0
→ (x + 3)² ≥ 0 → 항상 참
→ 해: 모든 실수 x

문제 3
x² + x + 1 > 0
→ 판별식 D = 1 - 4 = -3 < 0
→ 항상 양수 → 해: 모든 실수 x

문제 4
x² - 6x + 9 ≤ 0
→ (x - 3)² ≤ 0 → x = 3만 성립
→ 해: x = 3

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✅ 마무리 요약 – 이차부등식의 풀이법 정리

1. 이차식을 인수분해 또는 근의 공식으로 정리한다.
2. **이차방정식의 해(근)**을 구한다.
3. 부등호 방향에 따라 부호가 바뀌는 구간을 구한다.
4. 수직선을 그리고 부호판정표처럼 구간별 부호를 확인해 해를 결정한다.

이차부등식은 **"해가 구간"**이라는 특성을 파악하는 것이 핵심이에요.
수직선 해석과 부호 변화를 논리적으로 이해하면, 실수 없이 정답을 찾을 수 있답니다.