절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이 - 고등학교 공통수학 1

[고등수학 개념정리] 절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이 – 친절샘의 초간단 설명!

안녕하세요, 여러분!
수학을 어렵지 않게, 꼭 필요한 것만 콕 집어 알려주는 수학 선생님 친절샘이에요 😊

오늘은 고등수학에서 반드시 알고 넘어가야 할 개념,
바로 절댓값이 포함된 일차부등식을 다뤄볼게요.

처음 보면 당황할 수 있지만, 절댓값의 정의와 성질만 정확히 이해하면
누구나 쉽게 풀 수 있답니다. 함께 배워볼까요?

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✅ 절댓값이란?

절댓값은 어떤 수의 크기만 나타내는 값이에요.
기호로는 |a| 와 같이 쓰고,
다음과 같은 정의를 갖고 있어요.

|x| = x   (만약 x ≥ 0)
|x| = -x  (만약 x < 0)

즉, 항상 0 이상의 값을 가지게 됩니다.

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✅ 절댓값을 포함한 부등식의 풀이

절댓값이 포함된 부등식은 다음 3가지 유형으로 나눠서 볼 수 있어요.

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✔️ 유형 ① |A| < B 또는 |A| ≤ B

절댓값이 어떤 수보다 작거나 같을 때,
이건 이중 부등식으로 바꿔서 풀 수 있어요.

|A| < B ⟹ -B < A < B
|A| ≤ B ⟹ -B ≤ A ≤ B

예제 1
|x - 3| < 5
→ -5 < x - 3 < 5
→ 양변에 3을 더함
→ -2 < x < 8

✅ 정답: -2 < x < 8

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✔️ 유형 ② |A| > B 또는 |A| ≥ B

절댓값이 어떤 수보다 크거나 같을 때는 두 개의 부등식으로 나눠서 푼다는 게 핵심이에요.

|A| > B ⟹ A > B 또는 A < -B
|A| ≥ B ⟹ A ≥ B 또는 A ≤ -B

예제 2
|x + 2| ≥ 3
→ x + 2 ≥ 3 또는 x + 2 ≤ -3
→ x ≥ 1 또는 x ≤ -5

✅ 정답: x ≤ -5 또는 x ≥ 1

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✔️ 유형 ③ 절댓값 안에 문자 있는 경우 |ax + b| < c

이 경우에도 절댓값 정의와 부등식 성질을 이용해서 이중 부등식으로 바꾸면 돼요!

예제 3
|2x - 1| ≤ 3
→ -3 ≤ 2x - 1 ≤ 3
→ 양변에 1을 더함
→ -2 ≤ 2x ≤ 4
→ 양변을 2로 나눔
→ -1 ≤ x ≤ 2

✅ 정답: -1 ≤ x ≤ 2

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🧠 풀이 핵심 요약

|A| < B 형식 → 이중부등식
|A| > B 형식 → 두 가지 경우로 나눔
항상 절댓값 안의 식을 기준으로 처리하되, B는 항상 양수여야 한다는 것도 기억!

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⚠️ 주의사항

• |A| < -2 같은 부등식은 성립하지 않아요. 왜냐하면 절댓값은 0보다 작을 수 없기 때문이에요.
  → 이런 경우는 **해가 없음(불능)**입니다.

예제 4
|x + 1| < -3
→ 절댓값은 음수가 될 수 없으므로 해 없음

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🧩 실전 연습문제

문제 1
|x - 4| > 2
→ x - 4 > 2 또는 x - 4 < -2
→ x > 6 또는 x < 2

문제 2
|2x + 1| ≤ 5
→ -5 ≤ 2x + 1 ≤ 5
→ -6 ≤ 2x ≤ 4
→ -3 ≤ x ≤ 2

문제 3
|3x - 2| < -1
→ 절댓값은 음수가 될 수 없음
→ 해 없음

문제 4
|x| ≥ 4
→ x ≥ 4 또는 x ≤ -4

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✅ 친절샘의 마무리 요약 😊

오늘 배운 절댓값이 포함된 부등식은 생각보다 어렵지 않죠?

꼭 기억해야 할 핵심은 아래 3가지예요!

1. |A| < B → -B < A < B (이중부등식으로 바꿔라)
2. |A| > B → A > B 또는 A < -B (두 가지 경우로 나눠라)
3. 절댓값은 항상 0 이상! |A| < 음수는 무조건 해 없음!

시험에서도 자주 등장하고, 다양한 연립부등식과 섞여서 나오는 유형도 많아요.
오늘 개념을 확실히 익혀두면, 어떤 문제도 겁먹지 않고 풀 수 있을 거예요.