절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 2 - 고등학교 공통수학 1

[고등수학 개념정리] 절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 2 – 친절샘과 함께라면 확실하게 이해돼요!

안녕하세요, 여러분!
수학에 어려움을 느끼는 학생들에게 힘이 되는 선생님, 친절샘이에요 😊

이번 시간에는 절댓값 부등식 중에서도
조금 더 복잡한 형태의 문제, 바로 절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 2탄을 다뤄보려고 해요.

1탄에서는 기본적인 |x| < a, |x| > a 같은 부등식 형태를 배웠다면,
이번엔 양쪽에 절댓값이 있는 부등식, 또는 절댓값 부등식을 연립부등식으로 푸는 응용 문제들을 함께 풀어볼 거예요.

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✅ 절댓값끼리 비교하는 부등식: |A| < |B|

이런 형태의 부등식을 풀기 위해선 다음 두 가지 성질을 알아야 해요.

|A| < |B|는 A² < B²와 같지 않다!
→ 절대 안 돼요! 😱 (시험에서 자주 나오는 함정)

대신, 절댓값의 정의를 이용해 부등식을 경우를 나눠서 푸는 것이 핵심입니다.

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✅ 대표 유형 1: 양쪽에 절댓값이 있는 부등식

예제 1
|x - 3| < |x + 1|

이 문제는 두 절댓값의 크기를 비교하는 문제입니다.
이럴 땐 반드시 경우를 나누어 생각해야 해요.

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✔ 풀이 순서

1단계: 부등식의 경계점을 찾는다.

|x - 3| 와 |x + 1| 이니까, x = -1, x = 3에서 절댓값이 바뀌어요.
따라서 구간을 나눕니다:

• 경우 1: x < -1
• 경우 2: -1 ≤ x < 3
• 경우 3: x ≥ 3

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✔ 각 경우에 대해 식을 풀기

① x < -1
→ x - 3 < 0, x + 1 < 0 → 둘 다 음수
→ |x - 3| = -(x - 3), |x + 1| = -(x + 1)

→ -(x - 3) < -(x + 1)
→ -x + 3 < -x - 1
→ 3 < -1 → ❌ 거짓 → 해 없음

② -1 ≤ x < 3
→ x + 1 ≥ 0, x - 3 < 0
→ |x + 1| = x + 1, |x - 3| = -(x - 3)

→ -(x - 3) < x + 1
→ -x + 3 < x + 1
→ -2 < 2x
→ x > -1

하지만 이 범위는 -1 ≤ x < 3 이었죠.
→ 따라서 이 구간에서의 해는: -1 < x < 3

③ x ≥ 3
→ 둘 다 양수
→ |x - 3| = x - 3, |x + 1| = x + 1

→ x - 3 < x + 1
→ -3 < 1 → 항상 참

→ x ≥ 3 에서 항상 참 → 해: x ≥ 3

✅ 최종 해: -1 < x < 3 또는 x ≥ 3
→ 정답: x > -1

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✅ 대표 유형 2: 절댓값 포함 연립부등식

예제 2
(1) |x - 2| < 3
(2) x ≥ 0

풀이
① |x - 2| < 3
→ -3 < x - 2 < 3
→ 양변에 2를 더함
→ -1 < x < 5

② x ≥ 0

두 부등식의 공통 구간을 구하면
→ 0 ≤ x < 5

✅ 정답: 0 ≤ x < 5

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✅ 대표 유형 3: 절댓값 > 절댓값 형태

예제 3
|2x - 1| > |x + 4|

구간을 나누기 위한 절댓값 전환점은 x = -4, x = 0.5

① x < -4

|2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1
|x + 4| = -(x + 4) = -x - 4

→ -2x + 1 > -x - 4
→ -x > -5 → x < 5

범위는 x < -4 → 둘 다 만족하는 부분은 x < -4

✅ 해: x < -4

(나머지 구간도 유사하게 풀 수 있어요. 이 문제는 3구간 나눠 푸는 연습용으로 아주 좋습니다!)

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🧩 실전 연습문제

문제 1
|x - 1| ≥ |2x + 3|

문제 2
(1) |x + 2| < 4
(2) x < 5

문제 3
|2x - 5| > 3
→ 2x - 5 > 3 또는 2x - 5 < -3
→ x > 4 또는 x < 1

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✅ 친절샘의 마무리 요약

절댓값이 들어간 부등식은 처음에는 당황스러울 수 있지만,
🔑 핵심만 기억하면 문제없이 해결할 수 있어요!

정리하면:

• 절댓값 부등식은 절댓값 정의에 따라 경우를 나눠서 푼다
• 구간 나누기 기준: 절댓값 안이 0이 되는 값
• 연립일 땐 **각 부등식을 풀고 공통된 해(교집합)**을 찾는다
• 절댓값 < 형태는 이중 부등식,
  절댓값 > 형태는 두 개의 부등식으로 나눠야 한다

시험에서는 경계값 놓치기, 부등호 방향 바꾸는 실수, 해 안 겹치는 경우 놓치는 실수가 많이 나와요.
연습만이 정답입니다! ✍️