이차방정식의 실근의 위치 - 고등학교 공통수학 1

[고등수학 실력 UP] 이차방정식의 실근의 위치 – 친절샘과 함께 논리력까지 탄탄하게!

안녕하세요, 여러분의 수학을 친절하게 정리해주는 선생님 친절샘입니다 😊
오늘은 이차방정식 단원에서 자주 출제되고, 학생들이 헷갈리기 쉬운 개념!
바로 **“이차방정식의 실근의 위치”**를 함께 정리해볼 거예요.

단순히 실근의 개수를 묻는 문제가 아니라,
실근이 어느 범위 안에 있는지, 또는 특정 수보다 큰지 작은지를 판단하는 문제죠.
이런 문제는 수능, 모의고사, 내신에서 모두 출제되며
정답률이 낮은 고난도 유형이기도 해요!

그럼 친절샘과 함께 이차방정식의 실근의 위치를 완벽하게 정리해볼까요?

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✔️ 실근의 위치를 어떻게 판단할까?

먼저 이차방정식의 일반형부터 다시 볼게요.

ax² + bx + c = 0 (단, a ≠ 0)

이 방정식의 실근은 근의 공식을 통해 구할 수 있죠:

x = (-b ± √D) / (2a), 여기서 D = b² - 4ac

하지만 시험에서는 정확한 실근값을 구하지 않고도,
그 위치를 빠르게 판단해야 할 때가 많아요.

그럴 땐 다음의 세 가지 요소가 중요합니다:

1. 실근이 존재하는가? (D ≥ 0 확인)
2. 근의 합과 곱을 이용하기
3. 함수값의 부호를 활용해 부등식으로 판단하기

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✔️ 근의 위치를 빠르게 파악하는 핵심 팁

이차방정식의 두 실근을 α, β라고 할 때,
다음 관계식을 꼭 기억하세요!

• α + β = -b / a (두 근의 합)
• αβ = c / a (두 근의 곱)

이 값을 이용해 두 실근이 어떤 범위에 속하는지 추론할 수 있어요.

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✔️ 예제 1: 두 실근이 모두 0보다 큰가?

방정식 x² - 5x + 6 = 0의 두 실근이 모두 양수인지 판단하시오.

• 실근 존재? → D = 25 - 24 = 1 > 0 → OK
• 두 근의 합 = 5, 두 근의 곱 = 6
  → 근이 두 개 존재하고,
  → 곱 > 0, 합 > 0 → 두 실근은 모두 양수

✅ 정답: 두 실근은 모두 0보다 크다.

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✔️ 예제 2: 두 실근이 모두 음수인가?

방정식 x² + 6x + 8 = 0

• D = 36 - 32 = 4 > 0 → 실근 존재
• α + β = -6, αβ = 8
  → 곱 > 0, 합 < 0 → 두 실근은 모두 음수

✅ 정답: 두 실근은 모두 0보다 작다.

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✔️ 예제 3: 두 실근이 서로 다른 부호인가?

방정식 x² - x - 6 = 0

• D = 1 + 24 = 25 > 0
• α + β = 1, αβ = -6
  → 곱 < 0 → 두 실근은 서로 다른 부호

✅ 정답: 하나는 양수, 하나는 음수

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✔️ 예제 4: 두 실근이 모두 1보다 큰가?

이럴 땐 부등식 해석을 활용하면 좋아요.

방정식 x² - 4x + 3 = 0
→ 근: x = 1, 3 (인수분해 가능하므로 직접 확인)

✅ 두 실근이 모두 1보다 크지는 않음 → 하나는 1, 하나는 3 → 거짓

하지만 직접 계산이 어려운 경우는 함수값을 이용해 판단할 수 있어요:

두 실근이 모두 k보다 크다 ↔ 함수 f(x)의 값이 k에서 음수여야 함

예를 들어,
두 실근이 모두 2보다 크다
→ f(2) < 0이어야 함
→ x = 2가 실근 사이에 있어야 하니까!

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✔️ 실전 활용 문제

문제 1
방정식 x² - 3x + 2 = 0의 두 실근은 모두 1보다 큰가?

→ 실근: x = 1, 2 → 1 포함 → 거짓

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문제 2
x² + 4x + 3 = 0의 두 실근은 음수인가?

→ 실근: x = -1, -3 → 둘 다 음수 → 참

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문제 3
방정식 x² - x - 2 = 0의 실근은 서로 다른 부호인가?

→ D = 1 + 8 = 9 > 0
→ α + β = 1, αβ = -2 → 곱 < 0 → 부호 다름 → 참

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문제 4
x² + 2x + 5 = 0의 실근의 부호는?

→ D = 4 - 20 = -16 < 0 → 실근 없음 → 판단 불가

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문제 5
방정식 x² - 5x + 6 = 0의 두 실근은 2보다 큰가?

→ 실근: x = 2, 3 → 하나는 2 → 참 아님

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✔️ 친절샘의 핵심 정리 😊

• 실근의 존재 여부는 판별식 D로 판단!
• 실근의 부호는 근의 합과 곱을 보고 추론!
• 실근의 범위는 함수의 부호를 활용한 부등식 해석으로!
• 정답률을 올리려면, 정확한 해보다 부등식 감각을 기르자!

시험에선 근의 위치 문제를 복잡하게 내지 않아요.
단지 여러분이 판별식, 합과 곱, 부등식 해석을 자유자재로 쓸 수 있는지를 보고 싶을 뿐이에요.
이 글을 복습하면서 실전 감각까지 키워보세요!