이차함수의 최대, 최소와 활용 - 고등학교 공통수학 1

[고등수학 활용 마스터] 이차함수의 최대, 최소와 활용 – 친절샘과 함께 실전까지 뿌셔요!

안녕하세요!
여러분의 수학 실력을 실전형으로 끌어올려주는 선생님, 친절샘이에요 😊

오늘은 이차함수 단원에서 가장 실생활과 밀접하게 연결되는 부분,
바로 **“이차함수의 최대, 최소와 그 활용”**에 대해 함께 공부해볼 거예요!

이 개념은 단순히 값을 구하는 것이 끝이 아니에요.
실생활 문제나 수리적 상황을 모델링하는 데 사용되기 때문에
수능, 내신, 수행평가 등 정말 다양한 평가 방식에서 출제된답니다.

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✔️ 최대값과 최소값은 꼭짓점에서!

이차함수 y = ax² + bx + c 에서
그래프의 꼭짓점 좌표는 다음과 같습니다.

x = -b / (2a)
y = f(-b / (2a))

그리고 함수의 최대값 또는 최소값은 바로 꼭짓점의 y좌표입니다.

• a > 0 → 위로 열린 포물선 → 최소값 존재
• a < 0 → 아래로 열린 포물선 → 최대값 존재

이 기본 원리를 바탕으로 다양한 문제에 적용하는 것이 바로 활용 문제예요.

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✔️ 이차함수 활용의 핵심 포인트

이차함수를 이용한 문제는 크게 다음과 같은 유형으로 나눌 수 있어요:

1. 도형의 넓이나 길이의 최댓값/최솟값
2. 시간·속도·거리 문제
3. 수익·비용·이익 관련 문제
4. 정의역이 제한된 상황에서 최대/최소 구하기

활용 문제는 주어진 상황을 식으로 표현하는 게 가장 중요한 시작이에요!

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📘 예제 1: 사각형의 넓이 최대

가로의 길이가 xcm일 때, 세로는 (12 - x)cm라고 할 때
넓이 A(x)의 최대값은?

➤ 넓이 A(x) = x(12 - x) = -x² + 12x

• 이차함수: y = -x² + 12x → a < 0 → 최대값 존재
• x = -12 / (2×-1) = 6
• A(6) = 6 × (12 - 6) = 36

✅ 최대 넓이는 36㎠

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📘 예제 2: 수익 함수의 최대값

한 상품의 가격을 x원 올리면, 판매량은 (100 - x)개가 된다고 하자.
수익 R(x)를 구하고, 최대 수익을 구하시오.

➤ R(x) = x × (100 - x) = -x² + 100x
→ x = 50일 때 최대 수익
→ R(50) = 50 × 50 = 2500

✅ 최대 수익은 2,500원

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📘 예제 3: 거리 최소

점 A(2, 3)에서 y축 위의 어떤 점까지의 거리 D를 최소로 하려면?

➤ 거리 함수 D² = (x - 2)² + (y - 3)²
하지만 y축 위의 점이니까 x = 0
→ D² = (0 - 2)² + (y - 3)² = 4 + (y - 3)²

D²를 y에 대한 함수로 놓으면 → D² = y² - 6y + 13
→ 최소값은 y = 3일 때 D² = 4 → D = 2

✅ 최소 거리는 2

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✔️ 실전 꿀팁! 문제 해결 전략

1. 문제를 식으로 표현하는 연습을 자주 하세요.
2. **이차함수의 구조(a, b, c)**를 빠르게 파악하고 꼭짓점을 찾으세요.
3. **제한된 범위(정의역)**가 있다면, 꼭 그 범위 내에서 최대/최소를 판단해야 해요.
4. 계산을 단순화하기 위해 완전제곱식 또는 인수분해 형태로 변형하는 것도 좋아요.

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✔️ 실전 연습문제

문제 1
길이가 20cm인 철사로 직사각형을 만들려고 한다.
한 변의 길이를 xcm라 할 때, 넓이가 최대가 되도록 할 때 x의 값을 구하시오.

→ 두 변의 합이 10이므로, 다른 변은 10 - x
→ 넓이 A = x(10 - x) = -x² + 10x
→ 최대: x = 5 → 최대 넓이: 25㎠

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문제 2
어떤 물체를 위로 던졌을 때, 높이는 시간 t초 후 h(t) = -5t² + 20t + 1 이라고 한다.
최고 높이는?

→ t = -20 / (2×-5) = 2
→ h(2) = -5(4) + 40 + 1 = -20 + 40 + 1 = 21

✅ 최고 높이: 21m

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문제 3
x개의 상품을 팔았을 때 이익이 P(x) = -2x² + 40x - 120 이다.
이익이 최대가 되는 x는?

→ x = -40 / (2×-2) = 10
→ P(10) = -200 + 400 - 120 = 80

✅ 최대 이익은 80, 판매량은 10개

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✔️ 친절샘의 정리 한 마디 😊

이차함수의 최대값과 최소값은 단순 계산을 넘어,
현실의 문제를 수학적으로 분석하고 최적의 해를 찾는 능력을 길러줍니다.
문제를 풀 때는 항상 다음 질문을 떠올려 보세요.

"이 함수의 꼭짓점은 어디일까?"
"a의 부호는 무엇일까?"
"최대값인가, 최소값인가?"

이 세 가지를 정확히 판단하면, 어떤 활용 문제도 막힘없이 풀 수 있어요!
실수 줄이고, 논리력은 쑥쑥 키울 수 있는 최고의 기회랍니다 😊