이차함수의 그래프와 직선의 위치관계 - 고등학교 공통수학 1

[고등수학 개념정복] 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계 – 친절샘과 함께 명확하게 정리해요!

안녕하세요, 여러분의 수학을 이해로 바꿔주는 따뜻한 선생님 친절샘입니다 😊
오늘은 함수 단원에서 꼭 정리하고 넘어가야 할 핵심 주제!
바로 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 함께 공부해볼 거예요.

이 단원은 그래프 해석 능력과 대수적 사고력을 동시에 요구하는 파트로,
내신과 수능의 함수 문제 중 단골 손님이에요.

“교점이 몇 개냐”, “만나지 않느냐”, “접하느냐”와 같은 문제, 많이 봤죠?
오늘 확실하게 정리해드립니다!

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✔️ 이차함수와 직선의 관계란?

이차함수는 보통 다음과 같은 식으로 주어집니다.

y = ax² + bx + c (단, a ≠ 0)

직선은 다음과 같은 1차 함수로 주어지죠.

y = mx + d

이 두 함수가 만난다는 것은,
즉 두 그래프의 교점은 다음의 방정식을 만족하는 x값을 의미합니다.

ax² + bx + c = mx + d

정리하면, 두 그래프의 교점은 다음의 이차방정식의 해를 구하는 것과 같아요.

ax² + (b - m)x + (c - d) = 0

이 이차방정식의 실근의 개수에 따라 두 그래프의 위치관계가 결정됩니다!

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✔️ 위치관계는 판별식(D)으로 결정!

위의 방정식을 이차방정식으로 보고, 판별식 D = B² - 4AC를 계산하면

• D > 0 → 교점이 서로 다른 두 개 → 두 점에서 만남
• D = 0 → 교점이 하나 (중근) → 직선이 포물선과 접함
• D < 0 → 교점이 없음 → 서로 만나지 않음

따라서 이차함수와 직선의 위치관계는 이차방정식의 판별식으로 결정된다!

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📘 예제 1

이차함수 y = x² - 4x + 1과 직선 y = x + 2의 위치관계를 구하시오.

먼저 두 식을 같게 두자:

x² - 4x + 1 = x + 2
→ x² - 5x - 1 = 0
→ D = (-5)² - 4×1×(-1) = 25 + 4 = 29 > 0

✅ 서로 다른 두 점에서 만남 (교점 2개)

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📘 예제 2

y = x² + 2x + 1과 y = -x

→ x² + 2x + 1 = -x → x² + 3x + 1 = 0
→ D = 3² - 4×1×1 = 9 - 4 = 5 > 0
✅ 두 점에서 만남

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📘 예제 3

y = x² - 2x + 1, y = x - 1

→ x² - 2x + 1 = x - 1
→ x² - 3x + 2 = 0
→ D = 9 - 8 = 1 > 0
✅ 두 점에서 만남

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📘 예제 4

y = x² + 2x + 1, y = -x - 1

→ x² + 2x + 1 = -x - 1
→ x² + 3x + 2 = 0
→ D = 9 - 8 = 1 > 0
✅ 교점 2개

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📘 예제 5

y = x² - 4x + 4, y = 2x - 4

→ x² - 4x + 4 = 2x - 4
→ x² - 6x + 8 = 0
→ D = 36 - 32 = 4 > 0
✅ 두 점에서 만남

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📘 예제 6

y = x² - 2x + 1, y = x - 1

→ x² - 2x + 1 = x - 1
→ x² - 3x + 2 = 0
→ 인수분해: (x - 1)(x - 2) = 0
→ 교점: x = 1, 2 → 두 점에서 만남

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✔️ 실전 연습문제

문제 1
y = x² - x + 1, y = 2x + 3의 위치관계를 구하시오.

→ x² - 3x - 2 = 0
→ D = 9 + 8 = 17
✅ 두 점에서 만남

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문제 2
y = -x² + 4x - 4와 y = 2x - 4의 위치관계를 구하시오.

→ -x² + 4x - 4 = 2x - 4
→ -x² + 2x = 0 → x(x - 2) = 0
✅ 교점 2개 (x = 0, 2)

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문제 3
y = x² + x + 3, y = -x + 1

→ x² + 2x + 2 = 0
→ D = 4 - 8 = -4 < 0
✅ 교점 없음 → 서로 만나지 않음

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문제 4
이차함수 y = x² - 4x + 3과 직선 y = mx + 1이 한 점에서 만날 조건은?

→ x² - (4 + m)x + (3 - 1) = 0
→ 중근이 되려면 D = 0
→ 계산하여 m값을 구하는 문제로 발전 가능

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✔️ 친절샘의 한 줄 정리 😊

이차함수와 직선의 위치관계는 곧 두 함수의 교점 개수이며,
이는 두 식을 연립하여 생기는 이차방정식의 실근의 개수로 판단할 수 있어요!

이 개념은 함수와 방정식을 연결하는 대표적인 유형이고,
그래프 없이도 대수적으로 해석하는 사고력을 요구하므로
수능에서는 객관식과 서술형, 논리형 문제에 자주 등장합니다.

문제를 보면 "그래프를 그려야겠다"가 아니라
"두 식을 연립해서 D를 구해보자!"라고 바로 판단하는 연습, 지금부터 해보세요!