이차함수 총정리 - 고등학교 공통수학 1

[고등수학 개념 정복] 이차함수 총정리 – 친절샘과 함께 차근차근 마스터하자!

안녕하세요! 수학을 어렵지 않게, 재미있게 알려주는 여러분의 선생님 친절샘입니다 😊
오늘은 고등학교 수학의 핵심 개념 중 하나인 이차함수를 완벽하게 정리해드릴게요!

이차함수는 함수의 기본 중 기본이자,
그래프의 개형, 최대·최소, 활용 문제까지 매우 폭넓게 출제되는 단원이에요.
함수의 시작은 ‘이차함수’라고 해도 과언이 아니죠.
그만큼 시험에서도 중요하고, 실수도 자주 나오는 부분이에요.

그럼 친절샘과 함께 이차함수를 처음부터 끝까지, 알차게 정리해봐요!

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✔️ 이차함수란 무엇인가요?

이차함수는 y = ax² + bx + c의 형태로 주어지는 함수예요.
여기서 a ≠ 0이고, a, b, c는 모두 실수입니다.

• 함수식이 x에 대한 이차식으로 되어 있으면 → 이차함수!
• 그래프의 모양은 포물선이고, 이 포물선의 방향은 a의 부호에 따라 결정됩니다.

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✔️ 이차함수의 그래프 개형

• y = ax² → 꼭짓점 (0, 0), 축 x = 0
• a > 0 → 아래가 둥근 U자형 (위로 볼록)
• a < 0 → 위가 둥근 ∩자형 (아래로 볼록)

이것만으로도 기본적인 그래프의 방향을 판단할 수 있어요!

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✔️ 이차함수의 꼭짓점과 축

이차함수 y = ax² + bx + c에서
그래프의 꼭짓점의 x좌표는 다음과 같은 공식으로 구할 수 있어요:

x = -b / (2a)

이 값을 함수식에 대입하면 y좌표도 구할 수 있어요!

즉, 꼭짓점:

( -b / (2a), f(-b / (2a)) )

그래프의 대칭축은 항상 꼭짓점의 x좌표와 같아요.

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✔️ 이차함수의 최대값과 최소값

• a > 0 → 그래프가 위로 볼록 → 최소값 존재
• a < 0 → 그래프가 아래로 볼록 → 최대값 존재

최대/최소값은 항상 꼭짓점의 y좌표입니다!

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📘 예제 1

y = x² - 4x + 3

• a = 1 → 위로 볼록
• x = -(-4)/(2×1) = 2
• y = 2² - 4×2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
  → 꼭짓점 (2, -1), 최소값 -1

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📘 예제 2

y = -2x² + 6x - 5

• a < 0 → 아래로 볼록 → 최대값 존재
• x = -6 / (2×-2) = 1.5
• y = -2(1.5)² + 6(1.5) - 5
  → y = -4.5 + 9 - 5 = -0.5
  → 꼭짓점 (1.5, -0.5), 최대값 -0.5

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✔️ 이차함수의 꼭짓점형

일반형 y = ax² + bx + c는 다음과 같이 변형할 수 있어요:

y = a(x - p)² + q
→ 꼭짓점: (p, q)

변형이 되어 있으면 바로 꼭짓점 위치와 최대·최소값을 파악할 수 있죠!

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✔️ 이차함수의 x절편, y절편

• y절편: x = 0을 대입 → y = c
• x절편: y = 0일 때의 x값 → 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 해

x절편이 두 개, 하나(중근), 없을 수도 있어요.
이건 판별식 D = b² - 4ac의 부호에 따라 달라집니다.

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✔️ 이차함수의 활용 예제

📘 예제 3

y = -x² + 4x - 3의 최대값을 구하시오.

• a = -1 → 최대값 존재
• x = -4 / (2×-1) = 2
• y = -2² + 4×2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1
  ✅ 최대값은 1

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📘 예제 4

이차함수 y = 2(x - 1)² + 3의 꼭짓점과 대칭축을 구하시오.

→ 꼭짓점: (1, 3), 대칭축 x = 1

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📘 예제 5

이차함수 y = x² - 2x - 8의 x절편은?

x² - 2x - 8 = 0
→ (x - 4)(x + 2) = 0
→ x = 4, -2
✅ x절편: x = -2, 4

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✔️ 실전 연습문제

문제 1
y = 3x² - 6x + 2의 꼭짓점을 구하시오.
→ x = 1, y = -1 → (1, -1)

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문제 2
이차함수 y = -x² + 2x + 8의 최대값은?
→ x = 1, y = 9 → 최대값: 9

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문제 3
y = (x + 3)(x - 2)의 꼭짓점을 구하시오.
→ x = (-3 + 2)/2 = -0.5, y = f(-0.5)
→ 꼭짓점: (-0.5, -6.25)

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문제 4
y = a(x - 1)(x - 5)가 x축과 접하려면 a의 값은?

→ 두 중근을 같게 하기 위해서는 꼭짓점이 x = 3, y = 0이어야 함
→ 대입: 0 = a(3 - 1)(3 - 5) = a(2)(-2) = -4a → a = 0은 불가 → 조건 모순
✅ 이차함수가 x축과 접하려면 판별식 D = 0이어야 함!

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✔️ 친절샘의 마무리 정리 😊

• 이차함수는 그래프 모양, 꼭짓점, 대칭축, 최대·최소, 절편을 한 번에 다룰 수 있어요.
• 식의 형태만 봐도 정보를 빠르게 파악할 수 있어야 실전에서 시간을 절약할 수 있어요.
• 문제에서 “그래프의 꼭짓점”, “함수값의 최대 또는 최소”, “x절편”, “축의 방정식” 등을 묻는다면 모두 이차함수의 핵심 요소예요.

하나의 함수식에서 다양한 정보를 꺼낼 수 있다는 점,
그리고 함수와 방정식을 연결할 수 있다는 점에서
이차함수는 여러분 수학 실력을 한 단계 업그레이드해주는 멋진 개념입니다!