[고등수학 개념 마스터] 두 수를 근으로 하는 이차방정식, 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 방정식 만들기 – 친절샘의 핵심 정리!
안녕하세요!
항상 여러분 옆에서 따뜻하게 수학을 알려주는 친절샘이에요 😊
오늘은 이차방정식 단원에서 자주 등장하는 실전 개념,
바로 **“두 수를 근으로 하는 이차방정식 만들기”**와
**“두 근의 합과 곱으로 이차방정식 만들기”**를 함께 공부해볼 거예요!
이 개념은 수능은 물론, 내신 서술형 문제에 정말 자주 등장해요.
살짝 응용만 해도 고난도 문제로 출제되기 때문에, 꼭! 정확하게 이해하고 넘어가야 해요.
그럼 친절샘과 함께 하나씩 정리해볼까요?
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✔️ 이차방정식이란?
먼저 이차방정식의 기본 형태는 아래와 같아요.
ax² + bx + c = 0 (단, a ≠ 0)
해(근)는 두 개일 수 있고, 이 두 근을 α (알파), β (베타)라고 할 수 있어요.
우리가 이번 시간에 할 일은,
이 α와 β를 이용해 새로운 이차방정식을 만드는 것!
✔️ 두 수를 근으로 하는 이차방정식 만들기
두 수 α, β가 어떤 방정식의 해(근)일 때,
그 방정식은 이렇게 만들어집니다.
(x - α)(x - β) = 0
전개하면 다음과 같은 식이 되죠.
x² - (α + β)x + αβ = 0
즉, 두 수를 근으로 하는 이차방정식은 다음과 같이 표현됩니다.
✅ 공식:
x² - (근의 합)x + (근의 곱) = 0
✔️ 예제로 이해해볼까요?
📘 예제 1
두 수 2와 5를 근으로 하는 이차방정식을 구하시오.
- 합: 2 + 5 = 7
- 곱: 2 × 5 = 10
→ x² - 7x + 10 = 0
정답: x² - 7x + 10 = 0
📘 예제 2
두 수 -3과 4를 근으로 하는 이차방정식을 구하시오.
- 합: -3 + 4 = 1
- 곱: -3 × 4 = -12
→ x² - 1x - 12 = 0
정답: x² - x - 12 = 0
📘 예제 3
두 수 √2, -√2를 근으로 하는 이차방정식을 구하시오.
- 합: √2 + (-√2) = 0
- 곱: √2 × (-√2) = -2
→ x² - 0x - 2 = 0
정답: x² - 2 = 0
✔️ 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 만들기
이번에는 근의 값 자체는 안 주어지고, 두 근의 합과 곱만 주어지는 경우입니다.
이럴 때도 우리는 같은 공식을 이용해 이차방정식을 만들 수 있어요.
✅ 공식:
두 근의 합이 S, 곱이 P일 때
→ x² - Sx + P = 0
📘 예제 4
두 근의 합이 6이고 곱이 5인 이차방정식을 구하시오.
→ x² - 6x + 5 = 0
정답: x² - 6x + 5 = 0
📘 예제 5
두 근의 합이 -3, 곱이 -10일 때 방정식을 구하시오.
→ x² + 3x - 10 = 0
정답: x² + 3x - 10 = 0
✔️ 실전 연습문제
문제 1
두 수 1과 4를 근으로 하는 이차방정식을 구하시오.
→ 합: 5, 곱: 4
→ x² - 5x + 4 = 0
문제 2
두 수 -2와 -5를 근으로 하는 이차방정식을 구하시오.
→ 합: -7, 곱: 10
→ x² + 7x + 10 = 0
문제 3
두 근의 합이 1, 곱이 -6일 때 이차방정식을 구하시오.
→ x² - x - 6 = 0
문제 4
어떤 이차방정식의 두 근이 각각 3과 a일 때, a = -4이면 방정식을 구하시오.
→ 합: -1, 곱: -12
→ x² + x - 12 = 0
문제 5
두 근의 곱이 9이고 합이 -6일 때, 이차방정식을 구하시오.
→ x² + 6x + 9 = 0
✔️ 친절샘의 핵심 요약 💡
- 두 수 α, β가 주어졌다면
→ x² - (α + β)x + αβ = 0 - 두 수의 합과 곱만 주어졌다면
→ x² - (합)x + (곱) = 0 - 문제에서 근을 직접 주지 않아도, 합과 곱만 있으면 이차방정식을 만들 수 있다!
이 개념은 단순해 보이지만 빠르고 정확한 해석 능력이 필요하기 때문에
수능에서도 사고력 응용 문제로 자주 등장해요.
익숙해질 때까지 다양한 수치로 연습해보는 게 좋아요!
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