이차방정식의 판별식, 실근, 허근 - 고등학교 공통수학 1

[고등수학 개념 마스터] 이차방정식의 판별식과 실근, 허근 – 친절샘이 쉽게 설명해요!

안녕하세요! 수학이 어려울 때 가장 먼저 떠오르는 선생님, 바로 여러분의 친절샘입니다 😊
오늘은 고등학교 수학에서 정말 자주 등장하는 개념!
바로 이차방정식의 판별식, 실근, 허근에 대해 함께 정리해보려고 해요.

이 내용은 수능뿐 아니라 내신 2점, 3점, 4점 문제까지 다양하게 출제되기 때문에 꼭! 정확하게 알고 있어야 해요.
헷갈릴 수 있는 부분도 많지만, 친절샘이랑 같이 차근차근 공부하면 완벽하게 이해할 수 있어요.

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✔️ 이차방정식이란?

이차방정식의 일반형은 다음과 같습니다:

ax² + bx + c = 0
(단, a ≠ 0)

여기서 a, b, c는 모두 실수이며, a는 0이 아니어야 이차방정식이 됩니다.
이 방정식을 풀기 위해 우리는 근의 공식을 사용하게 돼요.

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✔️ 근의 공식과 판별식

이차방정식의 해(근)는 다음 공식을 통해 구할 수 있습니다:

x = (-b ± √D) / 2a

여기서 D = b² - 4ac를 **판별식(discriminant)**이라고 부릅니다.

판별식 D의 값에 따라 이차방정식의 해가 몇 개이고 어떤 종류인지를 알 수 있어요!

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✔️ 판별식의 세 가지 경우

✅ 1. D > 0

√D는 양의 실수가 되므로, 서로 다른 두 실근을 가집니다.
즉, 해가 두 개이고 모두 실수예요.

예) x² - 5x + 6 = 0
→ D = (-5)² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1 > 0
→ 두 실근: x = 2, x = 3

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✅ 2. D = 0

√D는 0이므로, 해는 **하나의 중근(중복된 해)**을 가집니다.
즉, 중근이면서 실수입니다.

예) x² - 4x + 4 = 0
→ D = (-4)² - 4×1×4 = 16 - 16 = 0
→ 중근: x = 2

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✅ 3. D < 0

√D는 허수가 되므로, 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 가집니다.
실수가 아닌, 복소수 형태의 해가 나옵니다.

예) x² + x + 1 = 0
→ D = 1² - 4×1×1 = 1 - 4 = -3
→ 해: x = (-1 ± √(-3)) / 2
→ 해: x = (-1 ± i√3) / 2 (허근)

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✔️ 정리표로 딱! 기억하기

D = b² - 4ac해의 개수해의 종류

D > 0	2개	서로 다른 실근
D = 0	1개	중근 (같은 실근)
D < 0	2개	서로 다른 허근

📌 해의 개수와 실수/허수 여부를 빠르게 판단하려면 D부터 계산하는 습관을 들이세요!

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✔️ 실전 예제와 문제풀이

📘 예제 1

x² - 6x + 8 = 0의 해를 구하시오.
→ D = (-6)² - 4×1×8 = 36 - 32 = 4 > 0
→ 두 실근: x = (6 ± √4)/2 = (6 ± 2)/2 = 4, 2
정답: x = 4, x = 2

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📘 예제 2

x² + 4x + 4 = 0의 해를 구하시오.
→ D = 16 - 16 = 0
→ 중근: x = -4 / 2 = -2
정답: x = -2

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📘 예제 3

x² + 2x + 5 = 0의 해를 구하시오.
→ D = 4 - 20 = -16 < 0
→ 허근: x = (-2 ± √(-16))/2 = (-2 ± 4i)/2 = -1 ± 2i
정답: x = -1 + 2i, x = -1 - 2i

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📘 예제 4

다음 이차방정식의 해가 서로 다른 두 실근을 갖도록 하기 위한 a의 조건은?
x² + 2x + a = 0

→ D = 4 - 4a > 0
→ 4 > 4a → a < 1
정답: a < 1

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✔️ 실전 연습문제

문제 1
x² - 4x + 3 = 0의 해의 종류는?
→ D = 16 - 12 = 4 → 서로 다른 두 실근

문제 2
x² + x + 2 = 0의 해는?
→ D = 1 - 8 = -7 → 허근

문제 3
다음 중 중근을 가지는 이차방정식은?
① x² - 2x + 1 = 0
② x² + 3x + 1 = 0
③ x² - x - 1 = 0
→ 정답: ① (D = 4 - 4 = 0)

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✔️ 친절샘의 마무리 꿀팁

• 이차방정식을 보면 무조건 D = b² - 4ac부터 계산하세요!
• D의 부호 하나로 해의 개수, 실수/허수 여부까지 한 번에 정리됩니다.
• 판별식 문제는 내신에선 서술형, 수능에선 선택형/참·거짓 문제로 자주 등장해요.

오늘 이 개념 하나만 제대로 이해해도 해를 빠르게 분류하고, 계산 시간을 줄이는 데 큰 도움이 됩니다!