고차방정식의 풀이 - 치환, 복이차식 - 고등학교 공통수학 1

[고등수학 개념정리] 고차방정식의 풀이 – 치환과 복이차식 정복! 친절샘과 함께라면 문제없어요 😊

안녕하세요!
수학을 친절하게 설명해주는 따뜻한 선생님, 친절샘입니다 😊

오늘은 고등수학의 고비 중 하나!
하지만 알고 보면 전혀 어렵지 않은 개념,
바로 고차방정식의 풀이 - 치환과 복이차식을 함께 정리해보려 해요.

“고차방정식”이라는 단어만 들어도 머리가 지끈?
그런 친구들을 위해, 친절샘이 차근차근 예제와 함께 설명해드릴게요.

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✔️ 고차방정식이란?

고차방정식이란 차수가 3 이상인 다항방정식을 말해요.

예)

• 3차방정식: x³ - 3x² + x = 0
• 4차방정식: x⁴ - 5x² + 4 = 0
• 6차방정식: x⁶ - 1 = 0 등

고차방정식은 인수분해, 치환, 근의 공식을 활용한 이차방정식으로의 전환 등을 통해 쉽게 풀 수 있어요.

오늘은 그중에서도 특히 치환을 활용한 복이차식 풀이에 집중해볼 거예요.

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✔️ 복이차식이란?

복이차식이란 변수의 차수가 이차식의 형태를 띠는 고차식을 말해요.

쉽게 말하면,
x⁴, x², 상수로 이루어진 식이 대표적인 복이차식이에요.

예를 들어,

x⁴ - 5x² + 4 = 0

이 식은 차수가 4차지만, x²를 기준으로 보면 이차방정식의 구조를 하고 있죠?

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✔️ 치환을 활용한 복이차식 풀이법

✅ Step 1: 치환하기

x² = y 라고 두면 → x⁴ = y²
→ 식이 y에 대한 이차방정식으로 바뀜

✅ Step 2: 이차방정식 풀기

→ y² - 5y + 4 = 0 → y = 1 또는 y = 4

✅ Step 3: 다시 치환 복원

→ x² = 1 → x = ±1
→ x² = 4 → x = ±2

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📘 예제 1

x⁴ - 5x² + 4 = 0

Step 1: x² = y → y² - 5y + 4 = 0
→ y = 1 또는 4

Step 2: x² = 1 → x = ±1, x² = 4 → x = ±2

✅ 정답: x = -2, -1, 1, 2

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📘 예제 2

x⁶ - 5x³ + 6 = 0

→ x³ = y라고 치환
→ y² - 5y + 6 = 0
→ y = 2 또는 3

→ x³ = 2 → x = ∛2
→ x³ = 3 → x = ∛3

✅ 실근: x = ∛2, ∛3

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📘 예제 3

x⁴ + 3x² - 10 = 0

→ x² = y → y² + 3y - 10 = 0
→ y = -5, 2

→ x² = -5 (허근), x² = 2 → x = ±√2

✅ 실근: x = ±√2

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✔️ 실전 연습문제

문제 1
x⁴ - 2x² - 3 = 0

→ x² = y → y² - 2y - 3 = 0
→ y = 3, -1 → x² = 3 → x = ±√3
→ x² = -1 → 허근

✅ 실근: x = ±√3

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문제 2
x⁶ - 7x³ + 12 = 0

→ x³ = y → y² - 7y + 12 = 0
→ y = 3, 4 → x = ∛3, ∛4

✅ 실근: x = ∛3, ∛4

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문제 3
x⁸ - 10x⁴ + 9 = 0

→ x⁴ = y → y² - 10y + 9 = 0
→ y = 1, 9

→ x⁴ = 1 → x = ±1
→ x⁴ = 9 → x = ±√3, ±(−√3) = ±√3

✅ 실근: x = ±1, ±√3

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문제 4
x⁴ + 6x² + 9 = 0

→ x² = y → y² + 6y + 9 = 0 → y = -3 (중근)
→ x² = -3 → 허근

✅ 실근 없음

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✔️ 치환이 통하는 방정식 형태는?

다음과 같은 구조라면 치환을 시도해보세요!

• x⁴ + ax² + b = 0
• x⁶ + ax³ + b = 0
• x⁸ + ax⁴ + b = 0 등

※ 변수의 차수가 2배 간격으로 증가하면 치환 가능성 매우 높음!

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✔️ 친절샘의 마무리 정리 😊

고차방정식은 어렵지 않아요.
핵심은 차수를 낮추는 전략, 바로 치환이에요.

• 변수의 차수가 일정한 간격으로 나올 때는 치환해서 이차방정식으로 바꾸기
• 실근만 요구하는 경우는 허근 제거 주의
• 실전에서 시간을 아끼려면 치환을 눈에 익히는 연습이 필요해요!

오늘 배운 치환과 복이차식 개념은
고차방정식 유형 중 가장 자주 등장하고, 시험에서도 단골 출제되니 꼭 익혀두세요 😊