미정계수법 - 계수비교법, 수치대입법 - 고등학교 공통수학 1

🧩 미정계수법 – 계수비교법과 수치대입법, 친절샘이 차근차근 알려줄게요!

안녕하세요, 여러분!
수학이 재미있어지는 시간! 친절한 수학 선생님, 친절샘이에요 😊

오늘은 많은 친구들이 어려워하는 미정계수법에 대해 이야기해볼 거예요.
처음 들으면 어려워 보이지만, 친절샘이 예제와 함께 쉽게 풀어줄 테니 걱정하지 마세요!

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📘 미정계수법이란?

미정계수법은 항등식을 이용해서 식에 들어 있는 미지의 계수(A, B, C 등)를 구하는 방법이에요.
특히 다항식을 분해하거나 전개식의 구조를 분석할 때 자주 등장하죠.

예를 들어,

x² + 3x + 2 = Ax² + Bx + C

이렇게 어떤 식이 항상 성립한다고 할 때, A, B, C 값을 찾아내는 것이 바로 미정계수법입니다.

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✨ 미정계수법의 2가지 방법

1. 계수비교법
2. 수치대입법

두 가지 모두 항등식을 바탕으로 하지만, 문제에 따라 더 편한 방법을 선택할 수 있어요.

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✅ 계수비교법

계수비교법은 좌변과 우변의 같은 차수끼리 계수를 비교하여 방정식을 세우는 방법이에요.

예제 1

(x + 1)(Ax + B) = 2x² + 5x + 3

① 우변을 전개한 형태로 바꿔보자:
(x + 1)(Ax + B) = A(x² + x) + B(x + 1)
= Ax² + Ax + Bx + B
= Ax² + (A + B)x + B

② 항등식이므로 좌변과 우변의 계수끼리 비교!

• x²의 계수: A = 2
• x의 계수: A + B = 5
• 상수항: B = 3

③ A = 2 → B = 3 (대입)

확인 완료!
👉 정답: A = 2, B = 3

🔍 포인트: 모든 항이 다항식 형태일 때는 계수비교법이 아주 깔끔해요!

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✅ 수치대입법

수치대입법은 말 그대로 x에 특정 값을 대입해서 방정식을 푸는 방법이에요.

예제 2

(x + 1)(Ax + B) = 2x² + 5x + 3

① x에 적절한 값을 대입해보자.

• x = -1 대입:
  (-1 + 1)(-A + B) = 0
  → 0 = 0 → 정보 없음 (스킵!)
• x = 0 대입:
  (0 + 1)(A×0 + B) = 3
  → 1 × B = 3 → B = 3
• x = 1 대입:
  (1 + 1)(A×1 + B) = 2² + 5×1 + 3 = 10
  → 2(A + B) = 10 → A + B = 5

B = 3 이므로, A = 2

👉 정답: A = 2, B = 3

🔍 포인트: x에 적절한 값을 넣어도 식이 성립한다는 점을 활용해 미지수를 구하는 거예요!

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📝 연습문제

문제 1

(x + 2)(Ax + B) = 2x² + 7x + 6

① 계수비교법 또는 수치대입법으로 A, B 구해보세요.

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문제 2

(x - 1)(Ax + B) = x² + x - 2

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문제 3

(x + 1)(x + 2) = x² + Ax + B일 때, A, B를 구하세요.

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✅ 정답 풀이

문제 1
좌변 전개: Ax² + (2A + B)x + 2B
→ A = 2,
2A + B = 7 → 4 + B = 7 → B = 3
2B = 6 → B = 3 (검증됨)
👉 A = 2, B = 3

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문제 2
좌변 전개: Ax² + (B - A)x - B
→ A = 1
B - A = 1 → B = 2
-B = -2 → B = 2 (검증됨)
👉 A = 1, B = 2

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문제 3
좌변 전개: x² + 3x + 2
→ A = 3, B = 2

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💬 친절샘의 꿀팁 정리

• 좌변을 전개할 수 있다면 계수비교법이 빠르고 정석적!
• 수치대입법은 전개가 복잡할 때 또는 특정 x값으로 미지수를 빠르게 제거할 수 있을 때 유용!
• x = 0, x = 1, x = -1 등 계산이 쉬운 수를 먼저 대입해보세요.
• 두 방법을 혼합해서 사용하는 문제도 많으니 둘 다 익숙해져야 해요!