항등식과 항등식의 성질 - 고등학교 공통수학 1

✅ 항등식과 항등식의 성질 – 친절샘과 함께하는 고등수학 개념 다지기!

안녕하세요, 수학이 쉬워지는 따뜻한 설명, 친절샘이에요 😊
오늘은 여러분이 고등학교 수학에서 꼭 알아야 할 개념 중 하나인 항등식과 항등식의 성질에 대해 공부해볼 거예요.
시험에도 자주 나오고, 식을 풀 때 기본이 되는 개념이라 꼭 알아두어야 해요!

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📘 항등식이란?

우리가 흔히 보는 식 중에 ‘항상 참인 식’이 있어요.
예를 들어, 이런 식을 볼까요?

2(x + 1) = 2x + 2

이 식은 x에 어떤 값을 넣어도 항상 참이에요.

• x = 1 넣어볼까요?
  2(1 + 1) = 2 × 2 = 4
  2 × 1 + 2 = 2 + 2 = 4 → 같아요!
• x = 5 넣어볼까요?
  2(5 + 1) = 2 × 6 = 12
  2 × 5 + 2 = 10 + 2 = 12 → 또 같아요!

이처럼 모든 x에 대해 항상 참이 되는 등식을 우리는 항등식이라고 부릅니다.

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❗항등식과 방정식의 차이점

구분항등식방정식

뜻	모든 값에 대해 항상 참인 식	특정한 값에서만 참인 식
예시	3(x + 2) = 3x + 6	x + 2 = 5
해의 수	무수히 많음 (모든 x)	보통 하나 또는 몇 개 존재
목적	좌우식이 항상 같음을 증명	미지수의 값을 구하는 것이 목적

즉, 항등식은 언제나 성립! 방정식은 특정 조건에서만 성립!

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✨ 항등식의 성질

항등식은 ‘모든 x에 대해 참’이기 때문에, 식을 다루는 데 몇 가지 성질이 있어요. 이걸 활용하면 식을 더 빠르고 정확하게 다룰 수 있답니다.

① 같은 항등식을 더하거나 빼도 항등식

예)
f(x) = g(x), h(x) = k(x)일 때,
f(x) + h(x) = g(x) + k(x)
f(x) - h(x) = g(x) - k(x)

② 항등식 양변에 같은 수나 식을 곱해도 항등식

예)
f(x) = g(x) 이면,
2f(x) = 2g(x),
(x + 1)f(x) = (x + 1)g(x)

③ 항등식 양변에 같은 수나 식을 나누어도 항등식 (단, 0으로 나누면 안 됨)

예)
f(x) = g(x), h(x) ≠ 0일 때,
f(x)/h(x) = g(x)/h(x)

이런 성질들을 이용하면, 문제를 간단하게 줄일 수 있고 항등식인지 아닌지 빠르게 판단할 수 있어요.

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🧠 항등식 확인하는 방법

항등식인지 아닌지 확인하려면 어떻게 해야 할까요?

1. 전개 또는 정리해서 좌변과 우변이 똑같은지 확인
2. 수 몇 개 대입해보고 항상 같으면 항등식일 가능성이 큼

예제 1

(x + 3)² = x² + 6x + 9

→ 좌변 전개: x² + 6x + 9
→ 우변과 같음 → 항등식 맞음!

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📝 연습문제

다음 식이 항등식인지 아닌지 판단해 보세요!

문제 1

2(x - 1) = 2x - 2

문제 2

x² + 2x + 1 = (x + 1)²

문제 3

x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

문제 4

x² + 2x = (x + 1)²

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✅ 정답 풀이

문제 1
좌변: 2x - 2, 우변: 2x - 2 → 같음 → 항등식 ✅

문제 2
우변 전개: x² + 2x + 1 → 같음 → 항등식 ✅

문제 3
우변 전개: x² - 4 → 같음 → 항등식 ✅

문제 4
우변 전개: x² + 2x + 1 → 다름 → 항등식 ❌

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💬 친절샘의 마무리 한마디

항등식은 수학에서 항상 성립하는 등식, 즉 '언제나 옳은 공식'이라고 할 수 있어요.
곱셈공식이나 제곱의 성질, 합차공식 등도 모두 항등식이죠!

수학을 잘하려면 ‘이 식이 항등식인지 아닌지’ 빠르게 판단하고 활용할 수 있어야 해요.
그 첫걸음은 정리, 전개, 그리고 대입입니다!

오늘 배운 항등식과 그 성질들, 꼭 연습문제까지 스스로 풀어보며 익혀보세요.
수학 자신감이 쑥쑥 자랄 거예요 😊