곱셈공식의 변형 - 고등학교 공통수학 1

🎯 곱셈공식의 변형 – 친절샘과 함께하는 실전 개념 마스터!

안녕하세요, 여러분! 😊
여러분과 함께 수학을 쉽게 풀어가는 친절샘이에요.

오늘은 곱셈공식을 한 단계 더 깊이 있게 다뤄볼게요.
바로! 곱셈공식의 변형입니다.

단순히 공식을 외우는 것에서 끝나는 게 아니라, 문제에 맞게 공식을 자유자재로 변형해서 활용할 수 있어야 시험에서 진짜 실력을 발휘할 수 있어요.

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🧠 왜 곱셈공식의 ‘변형’을 공부할까요?

기본 공식만 알고 있으면 딱 정해진 형태로 나오는 문제는 풀 수 있어요.
하지만 수학 시험은 항상 그런 문제만 주지 않죠!

예를 들어, 다음과 같은 문제는 어떻게 푸시겠어요?

문제 예시:
x² + 6x + 9 = ?

이걸 보고 바로 (x + 3)²라는 곱셈공식의 역방향, 즉 인수분해형태로 되돌리는 능력이 필요해요.
이게 바로 공식의 변형 활용 능력이에요!

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✨ 기본 곱셈공식 복습

먼저 우리가 알고 있는 세 가지 곱셈공식을 정리해볼게요.

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b)(a - b) = a² - b²

이제 이 공식을 거꾸로 생각하는 힘을 키워볼게요!

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🔄 곱셈공식의 변형 포인트

✅ 변형 1: 완전제곱식 판별하기

x² + 6x + 9 같은 식을 보면,

• 첫 항 x²는 x의 제곱,
• 마지막 항 9는 3²,
• 가운데 항 6x는 2 × x × 3 이므로

→ 이 식은 (x + 3)²로 변형할 수 있어요!

예제 1

다음을 곱셈공식으로 바꿔보세요.
x² - 8x + 16

→ x² - 2 × 4 × x + 4²
→ (x - 4)²

💡 Tip: 가운데 항이 2ab 형태로 나오는지 확인하세요.

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✅ 변형 2: 차이의 제곱 공식으로 바꾸기

문제 예시:
9a² - 6ab + b²

→ (3a)² - 2 × 3a × b + b²
→ (3a - b)²

복잡해 보여도, 차근차근 2ab를 체크하면 쉽게 식을 변형할 수 있어요.

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✅ 변형 3: 차이의 곱 (합차공식)으로 바꾸기

문제 예시:
x² - 16

→ x² - 4²
→ (x + 4)(x - 4)

a² - b² 형태가 보이면 반드시 합차공식을 떠올려야 해요!

 

📊 곱셈공식 변형 요약표

주어진 식 형태공식을 이용한 변형 결과사용된 공식

x² + 2ax + a²	(x + a)²	(a + b)² 공식
x² - 2ax + a²	(x - a)²	(a - b)² 공식
a² - b²	(a + b)(a - b)	합차 공식

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📝 연습문제 (직접 풀어보세요!)

문제 1

x² + 10x + 25 → ?

문제 2

4x² - 20x + 25 → ?

문제 3

a² - 49 → ?

문제 4

36x² - 36x + 9 → ?

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✅ 정답 풀이

문제 1
x² + 2 × 5 × x + 5² = (x + 5)²

문제 2
(2x)² - 2 × 2x × 5 + 5² = (2x - 5)²

문제 3
a² - 7² = (a + 7)(a - 7)

문제 4
(6x)² - 2 × 6x × 1 + 1² = (6x - 1)²

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💬 친절샘의 꿀팁 정리

• 가운데 항이 2ab인지 항상 확인하세요.
• 양 끝 항이 제곱이라면 완전제곱식일 가능성이 높아요.
• a² - b² 형태가 나오면 반드시 (a + b)(a - b)로 바꿔보세요.

곱셈공식의 변형은 단순 암기보다도 구조를 보는 눈을 키우는 것이 중요해요.
수학은 결국 패턴과 구조의 언어니까요! 😊