원의 접선의 방정식 2 – 기울기를 알 때 - 고등학교 공통수학 2

원의 접선의 방정식 2 – 기울기를 알 때

고등학교 수학을 친절하게 알려주는 선생님, 친절샘 😊

안녕하세요, 여러분!
지난 시간에는 접점을 알고 있을 때 원의 접선의 방정식을 구하는 방법을 배웠어요.
오늘은 두 번째 방법!
바로 기울기를 알고 있을 때 접선의 방정식을 구하는 방법을 배워볼 거예요.

시험에서는 접점이 주어지기보다, 접선의 기울기만 주어지고
그에 맞는 접선의 방정식을 구하라는 유형이 많이 출제됩니다.

이 글을 통해, 공식의 의미를 이해하고 문제 적용까지 확실히 익혀봅시다!

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✅ 원의 방정식 복습

우선 원의 표준형 방정식부터 기억해볼게요.

 

(x - a)² + (y - b)² = r²

• 중심: (a, b)
• 반지름: r

예: 중심 (2, -1), 반지름 3인 원

 

(x - 2)² + (y + 1)² = 9

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✅ 기울기를 알 때 접선의 방정식

🔷 핵심 공식

원이 (x - a)² + (y - b)² = r²이고,
접선의 기울기가 m이라면, 이 원에 접하는 접선의 방정식은 다음과 같습니다.

 

(y - b) = m(x - a) ± r√(1 + m²)

✔ 여기서 ±는 접선이 두 개 존재함을 의미해요.
(원에 기울기가 같은 접선은 중심 기준으로 좌우 또는 위아래로 2개가 존재하죠!)

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✅ 공식 유도 아이디어

해당 공식은 접선이 원과 한 점에서 접한다는 조건
→ 원 위의 점과 직선 사이의 거리 = 반지름
을 만족시켜서 얻은 결과입니다.

하지만 외울 때는 아래처럼 기억하면 쉬워요!

 

기울기 m + 중심 (a, b) + 반지름 r

 

→ → 대입해서 (y - b) = m(x - a) ± r√(1 + m²)

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✅ 예제 1

문제
다음 원에 접하고, 기울기가 2인 접선의 방정식을 구하시오.

 

(x - 1)² + (y - 2)² = 13

풀이

• 중심 (a, b) = (1, 2)
• 반지름 r = √13
• 기울기 m = 2

공식에 대입:

 

y - 2 = 2(x - 1) ± √13√(1 + 2²)

 

→ y - 2 = 2(x - 1) ± √13√5

 

→ y = 2x - 2 ± √65

✅ 정답:
y = 2x - 2 + √65,
y = 2x - 2 - √65

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✅ 예제 2

문제
원의 방정식 (x + 3)² + (y - 4)² = 10에 대해,
기울기 -1인 접선의 방정식을 구하시오.

풀이

• 중심: (-3, 4)
• 반지름 r = √10
• 기울기 m = -1

공식에 대입:

y - 4 = -1(x + 3) ± √10√(1 + (-1)²)

 

→ y - 4 = -x - 3 ± √10√2

 

→ y = -x + 1 ± √20

정리:

y = -x + 1 + 2√5

 

y = -x + 1 - 2√5

✅ 정답:
y = -x + 1 ± 2√5

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📝 연습문제

1. 원 (x - 2)² + (y + 1)² = 25에 접하고, 기울기가 3인 접선의 방정식을 구하시오.
2. 원 (x + 1)² + (y - 5)² = 20에 접하고, 기울기 -2인 접선의 방정식을 구하시오.
3. 중심이 (0, 0), 반지름이 2인 원에 대해 기울기가 1인 접선의 방정식을 구하시오.

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✅ 친절샘의 마무리 정리

• 기울기를 알 때는 공식 (y - b) = m(x - a) ± r√(1 + m²) 사용
• ± 기호로 접선 2개를 한꺼번에 표현
• √(1 + m²)은 직선의 단위벡터 크기와 관련
• 중심, 기울기, 반지름만 알면 바로 식이 나옴!

접점을 모른다고 당황하지 말고,
기울기와 중심, 반지름으로 충분히 접선 식을 만들 수 있다는 자신감을 가지세요! 😊