두 원의 교점을 지나는 원의 방정식 - 고등학교 공통수학 2

두 원의 교점을 지나는 원의 방정식, 어떻게 구할까?

친절한 고등학교 수학 선생님, 친절샘 😊

안녕하세요, 여러분!
오늘은 좌표평면 위에서 자주 마주치는 흥미로운 개념,
바로 두 원의 교점을 지나는 새로운 원의 방정식에 대해 살펴볼게요.

이 개념은 원의 방정식을 단순히 암기하는 것을 넘어
논리적 사고와 수식 변형 능력을 동시에 길러주는 주제랍니다!

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✅ 핵심 개념: 두 원의 교점

먼저, 두 원이 **서로 다른 두 점에서 만난다(=두 교점을 가진다)**는 전제하에 출발합니다.

예를 들어, 두 원의 방정식이 다음과 같다고 해봅시다.

 

원1: S₁(x, y) = x² + y² + D₁x + E₁y + F₁ = 0

 

원2: S₂(x, y) = x² + y² + D₂x + E₂y + F₂ = 0

이 두 원이 만나는 점들은 S₁ = 0, S₂ = 0을 동시에 만족하는 점들이에요.

이제 중요한 사실 하나!

S₁(x, y)와 S₂(x, y)의 일차결합으로 만든 식도 두 원의 교점을 지난다!

즉, 다음 형태의 식도 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식이 됩니다.

 

S(x, y) = S₁(x, y) + λS₂(x, y) = 0 (단, λ는 상수, λ ≠ -1)

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✅ 왜 이런 식이 되는 걸까?

이유는 간단해요!
교점에서 S₁ = 0이고 S₂ = 0이기 때문에,
그 점에 대해 S = S₁ + λS₂ = 0 + λ·0 = 0이 되죠.

즉, 교점에서는 무조건 만족합니다.

단, λ를 어떻게 정하느냐에 따라
새로운 원의 중심과 반지름이 결정됩니다.

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✅ 예제 1

문제
다음 두 원의 교점을 지나는 새로운 원의 방정식을 구하시오.

 

S₁: x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0

 

S₂: x² + y² + 2x - 10y + 24 = 0

풀이
우선 공통되는 x² + y²는 그대로 두고, 나머지를 일차결합합니다.

 

S(x, y) = S₁ + λS₂   =    [x² + y² - 4x + 6y - 12] + λ[x² + y² + 2x - 10y + 24]

→ 정리하면:

 

S(x, y) = (1 + λ)x² + (1 + λ)y² + (-4 + 2λ)x + (6 - 10λ)y + (-12 + 24λ)

→ 이 식이 원의 방정식이 되려면, x², y²의 계수가 같아야 하므로 자동 만족!
따라서, 이 식이 원의 방정식이 맞습니다.

이제 λ 값을 적절히 선택하면 됩니다.
예를 들어 λ = 1을 넣으면:

 

S(x, y) = 2x² + 2y² - 2x - 4y + 12

 

→ 양변을 2로 나누면: x² + y² - x - 2y + 6 = 0

✅ 정답: x² + y² - x - 2y + 6 = 0

이 원은 S₁과 S₂의 교점을 모두 지나는 새로운 원입니다.

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✅ 실전 꿀팁

• 일차결합이란?
  λ를 곱해 더하거나 빼는 것 → λ는 실수
• λ = 1, -1, 2 등 편한 수를 선택해 계산
• 최종 방정식이 x², y²의 계수가 같아야 원의 방정식이 됩니다
• 완전제곱식으로 바꾸면 중심과 반지름도 확인 가능

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✅ 예제 2

문제
다음 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식을 구하시오.

 

x² + y² + 2x - 4y + 1 = 0

 

x² + y² - 6x + 8y - 5 = 0

풀이
S₁ + λS₂로 결합:

S(x, y) = (1 + λ)x² + (1 + λ)y² + (2 - 6λ)x + (-4 + 8λ)y + (1 - 5λ)

λ = 1을 대입하면:

 

x² + y² - 4x + 4y - 4 = 0

✅ 정답: x² + y² - 4x + 4y - 4 = 0

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📝 연습문제

1. 다음 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식을 구하시오.
    x² + y² + 4x + 2y - 3 = 0
    x² + y² - 6x - 10y + 11 = 0
2. 두 원 x² + y² - 2x + 6 = 0과
    x² + y² + 2x - 10 = 0의 교점을 지나는 원의 방정식을
    λ = 2일 때 구하시오.
3. 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식이 가능할까? (힌트: λ = -1)

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✅ 친절샘의 마무리 정리

• 두 원 S₁, S₂의 교점을 지나는 원은
  S = S₁ + λS₂ = 0 형태로 나타낼 수 있어요
• 이 방법은 벡터의 선형결합과 비슷한 개념입니다
• 중심과 반지름을 알고 싶다면 완전제곱식 정리까지 해보세요!

이 개념은 고등학교 수학 II, 기하 영역뿐만 아니라
수학적 사고력을 평가하는 수능 고난도 문제에서도 활용되기 때문에
충분한 연습과 응용력이 필요하답니다 😊