축에 접하는 원의 방정식 - 고등학교 공통수학 2

축에 접하는 원의 방정식 – 접점과 중심을 이해하자!

친절하게 수학을 알려주는 고등학교 수학 선생님, 친절샘 😊

안녕하세요, 여러분!
오늘은 원의 방정식 중에서 **“축에 접하는 원”**에 대해 다뤄보겠습니다.
단순히 원의 중심과 반지름만 알고 식을 세우는 것이 아니라,
원과 x축 또는 y축이 접하는 조건을 이해하는 게 핵심이에요.

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✅ 원의 기본 방정식 복습

먼저 기본부터 확인해볼까요?

중심이 (a, b), 반지름이 r인 원의 표준형 방정식은 다음과 같습니다.

 

(x - a)² + (y - b)² = r²

이 식은 중심과 반지름을 알면 언제든지 만들 수 있죠.
그런데 만약 이 원이 x축이나 y축에 접한다면 어떻게 바뀔까요?

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✅ 축에 접한다는 뜻?

"축에 접한다"는 말은 다음을 의미합니다.

• x축에 접한다 → 원이 x축과 한 점에서 만나며, 중심의 y좌표와 반지름이 같음
• y축에 접한다 → 중심의 x좌표와 반지름이 같음

즉, 중심이 축으로부터 정확히 반지름만큼 떨어져 있어야 접할 수 있어요.

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✅ x축에 접하는 원

중심이 (a, r) 또는 (a, -r)인 경우, 원은 x축에 접합니다.
이때 반지름이 r이기 때문에, 원의 방정식은 아래와 같습니다.

 

(x - a)² + (y - r)² = r²  또는  (x - a)² + (y + r)² = r²

예를 들어 중심이 (2, 3), 반지름이 3이라면 x축에 접하고,

 

(x - 2)² + (y - 3)² = 9

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✅ y축에 접하는 원

중심이 (r, b) 또는 (-r, b)일 때, 원은 y축에 접합니다.
이 경우 방정식은 다음과 같습니다.

 

(x - r)² + (y - b)² = r²  또는  (x + r)² + (y - b)² = r²

예를 들어 중심이 (-4, 1), 반지름이 4이면 y축에 접하고,

 

(x + 4)² + (y - 1)² = 16

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✅ 예제 1

문제
x축에 접하고 중심이 (1, 3)인 원의 방정식을 구하시오.

풀이
x축에 접한다는 말은 중심의 y좌표가 반지름이라는 뜻 → r = 3

따라서 방정식은:

 

(x - 1)² + (y - 3)² = 9

✅ 정답: (x - 1)² + (y - 3)² = 9

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✅ 예제 2

문제
y축에 접하고 중심이 (5, -2)인 원의 방정식을 구하시오.

풀이
y축에 접한다는 말은 중심의 x좌표가 반지름 → r = 5

 

(x - 5)² + (y + 2)² = 25

✅ 정답: (x - 5)² + (y + 2)² = 25

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✅ 축에 접한다는 조건 활용 문제

문제
어떤 원이 x축과 y축에 모두 접하고, 중심이 제1사분면에 있다.
이 원의 방정식을 구하시오.

풀이
x축과 y축에 모두 접한다는 말은 중심의 x좌표 = 중심의 y좌표 = 반지름

→ 중심: (r, r)
→ 반지름: r

방정식은:

 

(x - r)² + (y - r)² = r²

예를 들어 r = 2라면,

 

(x - 2)² + (y - 2)² = 4

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✅ 연습문제

1. 중심이 (3, -3), x축에 접하는 원의 방정식을 구하시오.
2. 중심이 (-5, 0), y축에 접하는 원의 방정식을 구하시오.
3. 반지름이 6이고 y축에 접하며 중심이 제4사분면에 있는 원의 방정식을 구하시오.
4. 중심이 (a, a), 반지름이 a인 원은 어느 축에 접하는가? 그리고 방정식은?

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✅ 친절샘의 마무리 정리

• x축에 접한다 → 중심의 y좌표 = 반지름
• y축에 접한다 → 중심의 x좌표 = 반지름
• 축에 접하는 원은 중심 위치와 반지름 사이의 관계만 정확히 이해하면
  쉽게 식을 세울 수 있어요!

시험에서 이 개념은 조건으로 주어지고 원의 방정식을 구하거나,
접점 좌표를 묻는 형태로 자주 등장하므로 확실히 이해하고 넘어가야 합니다 😊