원과 직선의 위치관계 - 고등학교 공통수학 2

원과 직선의 위치관계 완벽 정리!

고등학교 수학 선생님, 친절샘 😊

안녕하세요, 여러분!
오늘은 수학 II 단원 중에서 기하 문제에서 자주 등장하는
**“원과 직선의 위치관계”**에 대해 함께 공부해 보려고 해요.

이 개념은 단순히 외우는 것이 아니라
원과 직선 사이의 거리, 반지름, 판별식 등을 연결해서
논리적으로 접근해야 하는 파트입니다.

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✅ 원의 기본 방정식 복습

원은 중심이 (a, b), 반지름이 r일 때 다음과 같이 표현됩니다.

 

(x - a)² + (y - b)² = r²

이 식은 표준형이라고 불리며, 중심과 반지름이 바로 드러나죠.

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✅ 직선의 일반형

직선은 보통 다음과 같은 일반형으로 주어집니다.

 

Ax + By + C = 0

이 형태로 주어졌을 때, 원과 이 직선이 어떤 위치관계를 가지는지를 판단하는 것이 오늘의 주제예요.

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✅ 원과 직선의 위치관계 3가지

원과 직선은 총 3가지 경우로 나눌 수 있어요.

1. 직선이 원과 한 점에서 만나는 경우 → 접한다
2. 직선이 원을 두 점에서 가로지르는 경우 → 교차한다
3. 직선과 원이 만나지 않는 경우 → 서로 떨어져 있다

이 위치관계를 판단하기 위해서는 원 중심과 직선 사이의 거리와 반지름을 비교하면 됩니다.

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✅ 중심에서 직선까지의 거리 공식

점 (a, b)와 직선 Ax + By + C = 0 사이의 거리는 다음과 같이 구합니다.

 

거리 d = |Aa + Bb + C| / √(A² + B²)

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✅ 위치관계 판단 기준

• d < r → 두 점에서 만난다 (교점 2개)
• d = r → 한 점에서 만난다 (접한다)
• d > r → 만나지 않는다 (이심)

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✅ 예제 1

문제
원: (x - 1)² + (y + 2)² = 25
직선: 3x - 4y - 1 = 0
이 원과 직선의 위치관계를 구하시오.

풀이

원 중심: (1, -2), 반지름 r = √25 = 5
직선: A = 3, B = -4, C = -1

중심에서 직선까지의 거리:

 

d = |3×1 + (-4)×(-2) - 1| / √(3² + (-4)²)

 

= |3 + 8 - 1| / √(9 + 16) = |10| / √25 = 10 / 5 = 2

반지름 5 > 거리 2 → 교점 2개 (교차)

✅ 정답: 직선은 원과 두 점에서 만난다.

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✅ 예제 2

문제
원: x² + y² = 13
직선: x - 2y + 3 = 0
이들의 위치관계를 구하시오.

풀이

원 중심: (0, 0), 반지름 r = √13
직선: A = 1, B = -2, C = 3

 

d = |1×0 + (-2)×0 + 3| / √(1² + (-2)²)

 

= |3| / √(1 + 4) = 3 / √5 ≈ 1.34

r = √13 ≈ 3.61
→ r > d → 교점 2개

✅ 정답: 원과 직선은 두 점에서 만난다.

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✅ 예제 3

문제
원: (x - 3)² + (y - 4)² = 9
직선: x + y - 10 = 0

풀이

중심: (3, 4), 반지름: √9 = 3
직선 거리:

 

d = |3 + 4 - 10| / √(1² + 1²)

 

= |-3| / √2 = 3 / √2 ≈ 2.12

반지름 3 > 거리 2.12 → 교점 2개

✅ 정답: 두 점에서 만난다 (교차)

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📝 연습문제

1. 원: x² + y² = 16, 직선: y = 4의 위치관계는?
2. 원: (x - 2)² + (y + 1)² = 4, 직선: 2x + y + 3 = 0
3. 원: x² + y² - 4x + 6y + 4 = 0, 직선: x - y + 2 = 0

(※ 중심과 반지름부터 구한 후 거리 계산으로 확인해보세요!)

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✅ 친절샘의 마무리 정리

• 중심과 직선 사이의 거리를 구한 후,
  반지름과 비교해서 위치관계를 판단한다
• d < r → 교차
• d = r → 접함
• d > r → 만나지 않음
• 이 개념은 도형의 성질 + 함수의 교점 해석과도 연결돼요

문제에서 함수와 그래프 해석으로도 자주 등장하니
꼭 정확하게 이해하고 넘어가야 해요 😊