원의 접선의 방정식 1 – 접점을 알 때 - 고등학교 공통수학 2

원의 접선의 방정식 1 – 접점을 알 때

친절한 고등학교 수학 선생님, 친절샘 😊

안녕하세요, 여러분!
오늘은 “원의 접선의 방정식” 중에서도 접점을 알고 있을 때
접선의 방정식을 어떻게 구하는지를 친절하게 설명드릴게요.

이 주제는 기하와 해석의 만남이자,
시험에서도 자주 출제되는 필수 개념입니다.
개념만 정확히 이해하면 문제풀이도 훨씬 수월해집니다!

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✅ 복습: 원의 방정식

중심이 (a, b), 반지름이 r인 원의 방정식은 다음과 같습니다.

 

(x - a)² + (y - b)² = r²

예: 중심이 (2, -1), 반지름이 5인 원 →

 

(x - 2)² + (y + 1)² = 25

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✅ 접점을 알 때 접선의 방정식 구하기

원의 접점을 P(x₁, y₁) 알고 있을 때,
이 점에서 원에 접하는 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있어요.

🔷 일반적인 공식

원이 (x - a)² + (y - b)² = r²이고,
접점이 P(x₁, y₁) 위에 있을 때, 접선의 방정식은:

 

(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²

이 공식은 접선이 중심에서 접점을 향한 벡터와 수직이라는 원리를 바탕으로 만들어졌어요.

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✅ 예제 1

문제
원 (x - 1)² + (y + 2)² = 13 위의 점 P(4, 1)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

풀이

• 중심: (1, -2)
• 반지름 r = √13
• 접점: (4, 1)

공식에 대입:

 

(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²

 

→ (4 - 1)(x - 1) + (1 - (-2))(y + 2) = 13

 

→ 3(x - 1) + 3(y + 2) = 13

 

→ 3x - 3 + 3y + 6 = 13

 

→ 3x + 3y + 3 = 13

 

→ 3x + 3y = 10

 

→ x + y = 10 / 3

✅ 정답:
x + y = 10 / 3

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✅ 접근 방법의 이해

위 공식을 모르더라도, 접점과 중심이 주어졌다면 기울기를 이용한 방법도 가능합니다.

• 중심 → 접점 벡터의 기울기:
• 복사편집
  m₁ = (y₁ - b) / (x₁ - a)
• 접선은 이 벡터와 수직 →
  접선의 기울기:
• 복사편집
  m₂ = -1 / m₁

이제 점-기울기형 방정식

 

y - y₁ = m₂(x - x₁)

에 대입하면 접선의 방정식을 구할 수 있어요.

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✅ 예제 2 (기울기 이용)

문제
원 (x - 2)² + (y - 1)² = 25 위의 점 (5, 5)에서의 접선 방정식을 구하시오.

풀이
중심: (2, 1), 접점: (5, 5)

1. 중심 → 접점 기울기:

 

m₁ = (5 - 1) / (5 - 2) = 4 / 3

1. 접선 기울기:

 

m₂ = -3 / 4

1. 접점 (5, 5)를 지나고 기울기가 -3/4인 직선의 방정식:

 

y - 5 = (-3/4)(x - 5) → 4y - 20 = -3x + 15 → 3x + 4y = 35

✅ 정답:
3x + 4y = 35

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📝 연습문제

1. 원 (x + 3)² + (y - 2)² = 20 위의 점 (0, 4)에서의 접선 방정식을 구하시오.
2. 원 (x - 1)² + (y - 1)² = 10에서 접점 (4, 1)에서의 접선 방정식을 구하시오.
3. 중심이 (0, 0), 반지름이 5인 원에서 점 (3, 4)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

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✅ 친절샘의 정리

• 접점을 알고 있을 때 접선의 방정식은 직선의 방정식
• 공식 활용:
• 복사편집
  (x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²
• 기울기를 구해 수직관계를 활용하는 방법도 익혀두자
• 두 방법 중 상황에 따라 더 쉬운 걸 택해도 좋아요!