원의 방정식 일반형과 표준형, 완벽 정리!
친절한 고등학교 수학 선생님, 친절샘 😊
안녕하세요, 여러분!
오늘은 좌표기하 단원에서 자주 등장하는 원의 방정식,
그중에서도 표준형과 일반형의 차이와 변환 방법에 대해 알아보겠습니다.
이 주제는 원의 중심과 반지름을 파악하는 데 매우 중요한 내용이기 때문에
시험에서도 빠짐없이 출제되는 단골 개념이에요.
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✅ 원의 정의부터 다시 보기
먼저, 원의 정의는 다음과 같아요.
“한 점에서 일정한 거리만큼 떨어진 모든 점들의 집합”
여기서
- 그 한 점을 **원점(중심)**이라 하고
- 일정한 거리를 **반지름(r)**이라고 해요.
이 정의로부터 바로 원의 방정식이 탄생합니다.
✅ 원의 방정식 표준형
중심이 (a, b), 반지름이 r인 원의 방정식은 다음과 같습니다.
예를 들어, 중심이 (3, -2), 반지름이 5인 원은:
표준형은 중심과 반지름이 바로 보이기 때문에
그래프를 그리거나 조건을 파악할 때 매우 유용합니다.
✅ 원의 방정식 일반형
표준형을 전개하면 아래와 같이 다항식 형태가 돼요.
여기서
- D = -2a
- E = -2b
- F = a² + b² - r²
이런 형태를 원의 일반형이라고 부릅니다.
표준형은 중심과 반지름이 잘 보이는 대신 식이 길고,
일반형은 식이 간단하지만 중심과 반지름이 바로 보이지 않아요.
그래서 시험에서는 일반형을 보고 표준형으로 바꾸는 문제가 자주 나옵니다.
✅ 일반형 → 표준형 (완전제곱식 활용)
일반형을 표준형으로 바꾸는 가장 중요한 도구는 바로 완전제곱식입니다.
✔ 예제 1
문제
다음 방정식이 나타내는 원의 중심과 반지름을 구하시오.
풀이
- 항을 모읍니다.
- 각각 완전제곱식으로 바꾸기 위해 필요한 수를 양변에 더합니다.
✅ 중심: (2, -3), 반지름: √16 = 4
✔ 예제 2
문제
다음 원의 방정식을 일반형으로 바꾸시오.
풀이
표준형을 전개합니다.
✅ 정답: x² + y² + 2x - 10y + 17 = 0
✅ 표준형과 일반형 비교 요약
| 표준형 | (x - a)² + (y - b)² = r² | 중심과 반지름 바로 파악 가능 |
| 일반형 | x² + y² + Dx + Ey + F = 0 | 식이 간결, 계산 편리 |
📝 연습문제
- x² + y² + 6x - 8y + 9 = 0의 중심과 반지름을 구하시오.
- 중심이 (-2, 1), 반지름이 3인 원의 방정식을 일반형으로 바꾸시오.
- (x - 4)² + (y + 5)² = 49를 전개하여 일반형으로 나타내시오.
- x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0의 중심 좌표와 반지름을 구하시오.
✅ 친절샘의 마무리 정리
- 원의 표준형: 중심과 반지름이 보인다
- 원의 일반형: 완전제곱식으로 변형하면 중심과 반지름이 드러난다
- 완전제곱식 정리는 꼭 익혀두자
- 중심 = ( -D/2, -E/2 ),
반지름 = √[(D/2)² + (E/2)² - F]
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