수학/공통수학2

원의 방정식 일반형과 표준형 - 고등학교 공통수학 2

친절샘 정이 2025. 4. 5. 16:08

원의 방정식 일반형과 표준형, 완벽 정리!

친절한 고등학교 수학 선생님, 친절샘 😊

안녕하세요, 여러분!
오늘은 좌표기하 단원에서 자주 등장하는 원의 방정식,
그중에서도 표준형과 일반형의 차이와 변환 방법에 대해 알아보겠습니다.

이 주제는 원의 중심과 반지름을 파악하는 데 매우 중요한 내용이기 때문에
시험에서도 빠짐없이 출제되는 단골 개념이에요.

2분할 수학노트로 수학공부 열심히 해보세요!!! 

https://smartstore.naver.com/muadeep/products/11680558051

 

2분할 수학노트 아이코닉 오납노트 베이직 : 무아딥

[무아딥] 인테리어 소품 전문점

smartstore.naver.com


✅ 원의 정의부터 다시 보기

먼저, 원의 정의는 다음과 같아요.

“한 점에서 일정한 거리만큼 떨어진 모든 점들의 집합”

여기서

  • 그 한 점을 **원점(중심)**이라 하고
  • 일정한 거리를 **반지름(r)**이라고 해요.

이 정의로부터 바로 원의 방정식이 탄생합니다.


✅ 원의 방정식 표준형

중심이 (a, b), 반지름이 r인 원의 방정식은 다음과 같습니다.

(x - a)² + (y - b)² = r²

예를 들어, 중심이 (3, -2), 반지름이 5인 원은:

(x - 3)² + (y + 2)² = 25

표준형은 중심과 반지름이 바로 보이기 때문에
그래프를 그리거나 조건을 파악할 때 매우 유용합니다.


✅ 원의 방정식 일반형

표준형을 전개하면 아래와 같이 다항식 형태가 돼요.

 
(x - a)² + (y - b)² =
 
→ x² - 2ax ++- 2by +=
 
→ x² ++ Dx + Ey + F = 0

여기서

  • D = -2a
  • E = -2b
  • F = a² + b² - r²

이런 형태를 원의 일반형이라고 부릅니다.

표준형은 중심과 반지름이 잘 보이는 대신 식이 길고,
일반형은 식이 간단하지만 중심과 반지름이 바로 보이지 않아요.

그래서 시험에서는 일반형을 보고 표준형으로 바꾸는 문제가 자주 나옵니다.


✅ 일반형 → 표준형 (완전제곱식 활용)

일반형을 표준형으로 바꾸는 가장 중요한 도구는 바로 완전제곱식입니다.


✔ 예제 1

문제
다음 방정식이 나타내는 원의 중심과 반지름을 구하시오.

 
x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0

풀이

  1. 항을 모읍니다.
 
(x² - 4x) + (y² + 6y) = 3
  1. 각각 완전제곱식으로 바꾸기 위해 필요한 수를 양변에 더합니다.
 
(x² - 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 3 + 4 + 9
 
→ (x - 2)² + (y + 3)² = 16

✅ 중심: (2, -3), 반지름: √16 = 4


✔ 예제 2

문제
다음 원의 방정식을 일반형으로 바꾸시오.

 
(x + 1)² + (y - 5)² = 9

풀이
표준형을 전개합니다.

x² + 2x + 1 + y² - 10y + 25 = 9
 
→ x² + y² + 2x - 10y + 17 = 0

✅ 정답: x² + y² + 2x - 10y + 17 = 0


✅ 표준형과 일반형 비교 요약

구분형태장점
표준형 (x - a)² + (y - b)² = r² 중심과 반지름 바로 파악 가능
일반형 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 식이 간결, 계산 편리

📝 연습문제

  1. x² + y² + 6x - 8y + 9 = 0의 중심과 반지름을 구하시오.
  2. 중심이 (-2, 1), 반지름이 3인 원의 방정식을 일반형으로 바꾸시오.
  3. (x - 4)² + (y + 5)² = 49를 전개하여 일반형으로 나타내시오.
  4. x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0의 중심 좌표와 반지름을 구하시오.

✅ 친절샘의 마무리 정리

  • 원의 표준형: 중심과 반지름이 보인다
  • 원의 일반형: 완전제곱식으로 변형하면 중심과 반지름이 드러난다
  • 완전제곱식 정리는 꼭 익혀두자
  • 중심 = ( -D/2, -E/2 ),
    반지름 = √[(D/2)² + (E/2)² - F]

📌 태그

#원의방정식 #표준형과일반형 #완전제곱식 #좌표기하 #고등수학 #수능수학 #내신수학 #수학예제 #원그래프 #친절샘 #티스토리수학블로그