복잡한 식의 인수분해 - 치환, 복이차식 - 고등학교 공통수학 1

🧠 복잡한 식의 인수분해 – 치환과 복이차식, 친절샘과 정리해봐요!

안녕하세요, 여러분!
수학을 처음 배우는 학생도 웃으며 공부할 수 있게 도와주는 친절샘이에요 😊

오늘은 인수분해 공식 중에서도 조금 더 깊이 들어가서,
조금 복잡한 형태의 인수분해,
특히 치환을 활용한 인수분해와 복이차식의 인수분해에 대해 함께 공부해볼 거예요.

이 유형은 단순 공식 암기만으로는 어렵지만,
패턴을 정확히 이해하고 치환을 잘하면 훨씬 쉽게 풀 수 있어요.

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📌 복이차식이란?

복이차식이란 이차식의 형태를 띠고 있는 다항식이에요.
쉽게 말하면, 어떤 표현 전체를 하나의 문자처럼 보고,
그 식이 마치 ax² + bx + c 꼴이 되게 보이는 식을 말해요.

예를 들어, 아래 식을 보세요.

x⁴ - 5x² + 6

겉으로 보기엔 4차식이지만, x²를 하나의 단위로 보면,

(x²)² - 5(x²) + 6

즉, x²를 하나의 문자로 치환하면 이차식처럼 보이죠!

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✨ 치환을 활용한 복이차식 인수분해

✅ 예제 1

x⁴ - 5x² + 6

→ x² = a 라고 치환하면,
→ a² - 5a + 6 = (a - 2)(a - 3)

→ 다시 x²로 바꿔주면
= (x² - 2)(x² - 3)

👉 정답: (x² - 2)(x² - 3)

💡 포인트: 복잡한 식이 보이면, 일단 낮은 차수 항을 문자로 치환해보세요!

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✅ 예제 2

(x + 1)² - 9(x + 1) + 20

겉보기에 복잡해 보이지만,
(x + 1)를 통째로 a라고 치환하면,

→ a² - 9a + 20 = (a - 4)(a - 5)

→ 다시 x로 바꿔주면
= (x + 1 - 4)(x + 1 - 5)
= (x - 3)(x - 4)

👉 정답: (x - 3)(x - 4)

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🧠 치환 인수분해 순서 정리

1. 공통되는 표현(괄호, 제곱 등)을 하나의 문자로 치환
2. 이차식 형태로 인수분해
3. 다시 원래 문자로 복원
4. 필요하다면 더 인수분해 (ex. 완전제곱식 등)

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📝 연습문제 – 직접 풀어보며 익혀요!

문제 1

x⁴ + 3x² - 10

문제 2

(x - 2)² + 3(x - 2) - 10

문제 3

x⁶ - 4x³ - 5

문제 4

x⁴ - 16

문제 5

(x + 2)⁴ - 5(x + 2)² + 6

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✅ 정답 풀이

문제 1
x² = a 라고 치환
→ a² + 3a - 10 = (a + 5)(a - 2)
→ (x² + 5)(x² - 2)

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문제 2
(x - 2) = a 라고 치환
→ a² + 3a - 10 = (a + 5)(a - 2)
→ (x - 2 + 5)(x - 2 - 2) = (x + 3)(x - 4)

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문제 3
x³ = a 라고 치환
→ a² - 4a - 5 = (a - 5)(a + 1)
→ (x³ - 5)(x³ + 1)
→ (x³ + 1)는 **(x + 1)(x² - x + 1)**로 인수분해 가능!
→ 최종 정답: (x³ - 5)(x + 1)(x² - x + 1)

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문제 4
x⁴ - 16 = (x²)² - (4)²
→ 합차 공식: (x² + 4)(x² - 4)
→ x² - 4 = (x + 2)(x - 2)
→ 최종 정답: (x² + 4)(x + 2)(x - 2)

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문제 5
(x + 2)² = a 라고 치환
→ a² - 5a + 6 = (a - 2)(a - 3)
→ (x + 2)² - 2, (x + 2)² - 3
→ 정답: (x + 2)² - 2)(x + 2)² - 3)

(※ 필요하다면 이 식들도 추가 인수분해 가능)

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💬 친절샘의 팁

• 복잡한 인수분해 문제는 겉모습이 무섭게 보여도, 치환을 해주면 정말 간단해져요!
• 치환 후에는 꼭 원래 문자로 다시 되돌리는 걸 잊지 마세요!
• 제곱식이 보이면 먼저 완전제곱식, 합차공식 떠올려 보기
• 지수가 4, 6, 8인 고차식은 대부분 복이차식 구조가 숨어 있어요!