조립제법 2 - 나누는 식의 x의 계수가 1이 아닐 때 - 고등학교 공통수학 1

📘 조립제법 2 – 나누는 식의 x의 계수가 1이 아닐 때는 어떻게 할까?

안녕하세요, 여러분!
수학을 친절하고 쉽게 알려주는 고등학교 수학선생님 친절샘이에요 😊

지난 시간에는 조립제법을 활용해 다항식을 (x - a)로 나누는 법을 배웠어요.
이번에는 한 단계 더 나아가서, 나누는 식의 x의 계수가 1이 아닌 경우,
즉 (ax - b) 형태일 때 조립제법을 어떻게 활용하는지 함께 알아볼 거예요.

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📌 조립제법 복습 – 기본 조건

조립제법은 다항식 P(x)를 **일차식 (x - a)**으로 나눌 때, 복잡한 나눗셈을 빠르게 처리하는 방법이에요.
하지만 여기엔 중요한 조건이 있었죠?

👉 나누는 식이 꼭 x의 계수가 1인 (x - a) 형태여야 한다는 것!

그렇다면 2x - 3, 3x + 1 같은 식으로 나눌 때는 어떻게 해야 할까요?

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✨ 핵심 포인트: 조립제법을 쓰기 전에 나누는 식을 바꾸자!

조립제법은 기본적으로 x의 계수가 1인 경우에만 사용할 수 있으므로,
나누는 식을 (x - α) 형태로 바꿔주는 전처리 작업이 필요합니다.

예를 들어,

P(x)를 (2x - 3) 으로 나누고 싶다면?

👉 이 식을 x - (3/2) 형태로 바꾸기!

즉, 조립제법에서는 x = 3/2를 기준으로 계산을 진행하면 됩니다.
하지만! 주의할 점이 있어요.

나누는 식이 (2x - 3) 이라는 건 실제로는 몫에 영향을 주는 계수가 2라는 뜻이기 때문에,
계산한 몫은 반드시 x의 계수로 나누어줘야 해요!

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✅ 예제 1: 조립제법 적용하기 (x의 계수가 2일 때)

다항식 P(x) = 4x³ + 10x² - 6x + 8 을 (2x - 3)으로 나누어 보자.

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Step 1. 나누는 식을 (x - a) 형태로 바꾸기

(2x - 3) = 0 이면 x = 3/2
→ 조립제법에서는 a = 3/2로 계산

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Step 2. 계수 정리

다항식 P(x)의 계수를 차례대로 나열:
→ 4 10 -6 8

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Step 3. 조립제법 실행

       4   10   -6   8
     -------------------
3/2 |     4   16   18 | 35

계산 과정:

• 첫 항 4 그대로 내림
• 4 × 3/2 = 6 → 10 + 6 = 16
• 16 × 3/2 = 24 → -6 + 24 = 18
• 18 × 3/2 = 27 → 8 + 27 = 35

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Step 4. 몫 조정

몫의 계수: 4 16 18
하지만 이건 (x - 3/2)로 나눈 결과예요.
우리는 원래 (2x - 3) 로 나눴으므로, 각 계수를 2로 나눠줘야 해요!

👉 최종 몫:
4 ÷ 2 = 2
16 ÷ 2 = 8
18 ÷ 2 = 9

→ 몫: 2x² + 8x + 9, 나머지: 35

✅ 정답:
(4x³ + 10x² - 6x + 8) ÷ (2x - 3)
= 몫 2x² + 8x + 9, 나머지 35

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🧠 정리 요약 – x의 계수가 1이 아닐 때 조립제법 순서

1. (ax - b) = 0 → x = b/a 를 구함
2. 다항식의 계수를 나열하고, x = b/a로 조립제법 실행
3. 마지막 수는 나머지
4. 몫의 계수들은 모두 a(= x의 계수)로 나눠줘야 한다!

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📝 연습문제

다음 다항식을 조립제법으로 나눠 보세요.

문제 1

P(x) = 6x³ + 5x² - 4x + 2 를 (3x - 1)으로 나누세요.

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문제 2

P(x) = 4x³ - x² + 2x - 3 를 (2x + 1)으로 나누세요.

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문제 3

P(x) = 5x³ - 3x² + x - 7 를 (x - 2)로 조립제법으로 나누세요.
(※ 보너스! x의 계수가 1일 때 확인용)

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✅ 정답 풀이

문제 1
x = 1/3, 계수: 6 5 -4 2

        6   5   -4   2
      ------------------
1/3 |     6   7   -11 | -1/3

몫 계수: 6, 7, -11 → 6 ÷ 3 = 2, 7 ÷ 3 = 7/3, -11 ÷ 3 = -11/3
👉 몫: 2x² + (7/3)x - 11/3, 나머지: -1/3

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문제 2
(2x + 1) → x = -1/2, 계수: 4 -1 2 -3

          4   -1   2   -3
        ------------------
-1/2 |     4  -3.0 3.5  |  -1.25

몫 계수: 4, -3, 3.5 → ÷2 하면 2, -1.5, 1.75
👉 몫: 2x² - 1.5x + 1.75, 나머지: -1.25

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문제 3
(x - 2) → x = 2, 계수: 5 -3 1 -7

       5   -3   1   -7
     ------------------
 2 |     5   7   15  | 23

👉 몫: 5x² + 7x + 15, 나머지: 23

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💬 친절샘의 정리 한마디

조립제법은 정말 강력한 계산 도구예요.
특히 x의 계수가 1이 아닐 때도 적용할 수 있다는 점, 꼭 기억해 주세요!

• 나누는 식이 (ax - b)일 경우
   → x = b/a 를 구해 조립제법 적용
   → 몫의 계수는 반드시 a로 나눠주기!

처음엔 분수가 나와서 조금 복잡해 보이지만, 몇 번 연습해보면 금방 익숙해진답니다.
시험에서도 시간 절약에 큰 도움이 되니 꼭 연습해보세요 😊