허수와 허수단위, 복소수 - 고등학교 공통수학 1

[고등수학 개념 정복] 허수와 허수단위, 복소수 – 친절샘과 함께하는 개념 마스터

안녕하세요! 수학이 어려울 땐 언제든 찾아오는 여러분의 친절한 수학 선생님, 친절샘이에요 😊
오늘은 ‘복소수’의 시작점, 허수에 대해 함께 공부해볼 거예요.

사실 ‘허수’라고 하면 처음엔 무슨 마법같은 얘기처럼 들릴 수 있어요. “실제로 존재하지 않는 수?”, “허허수?” 하는 친구들도 있었어요. 그런데!
알고 보면 허수는 수학에서 엄청 중요한 존재감 폭발 캐릭터랍니다. 자, 지금부터 친절샘이 차근차근 알려드릴게요!

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✔️ 허수란 무엇인가요?

수학 시간에 다음과 같은 방정식을 한 번쯤 본 적 있지요?

x² + 1 = 0

양변에서 1을 빼면 x² = -1
그럼 x는 뭐가 되나요? 음… 실수에서는 제곱해서 음수가 되는 수는 존재하지 않아요.
왜냐면 어떤 수를 제곱해도 0 이상이거든요.

그래서 수학자들이 생각했어요.
“이 문제를 해결할 수 있는 새로운 수를 만들어보자!”
그래서 탄생한 것이 바로 허수 단위 i입니다.

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✔️ 허수 단위 i

허수의 정의는 딱 하나!

i² = -1

즉, i는 제곱하면 -1이 되는 수예요.
우리가 실수에서 해결하지 못했던 x² = -1 같은 문제를 해결할 수 있게 해준 고마운 존재죠.

그래서 x² = -1의 해는?

x = ±i

간단하죠? 😊

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✔️ 허수를 이용해 만든 새로운 수, 복소수

허수가 등장하면서 실수만으로는 표현할 수 없었던 수들을 확장할 수 있게 되었어요.
이렇게 실수와 허수를 합쳐 만든 수를 **복소수(Complex Number)**라고 합니다.

복소수는 다음과 같은 형태를 가지고 있어요:

a + bi

여기서

• a는 실수 부분,
• b는 허수 부분,
• i는 허수 단위입니다.

예를 들어,

• 3 + 2i
• -5i
• 7 (이건 허수 부분이 0인 복소수)

전부 다 복소수입니다!
특히 b = 0일 땐 실수,
a = 0일 땐 순허수라고 부르죠.

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✔️ 복소수의 사칙연산

시험에 꼭 나오는 복소수 연산! 어렵지 않아요. 친절샘과 하나씩 해봐요.

➀ 덧셈과 뺄셈

복소수의 덧셈/뺄셈은 실수끼리, 허수끼리 계산하면 끝!

예제) (3 + 2i) + (1 + 5i)
→ (3 + 1) + (2i + 5i) = 4 + 7i

예제) (4 - 3i) - (2 + i)
→ (4 - 2) + (-3i - i) = 2 - 4i

➁ 곱셈

i² = -1을 잘 활용하세요!

예제) (2 + 3i)(1 - 2i)
→ 2×1 + 2×(-2i) + 3i×1 + 3i×(-2i)
→ 2 - 4i + 3i - 6i²
→ 2 - i - 6(-1)
→ 2 - i + 6 = 8 - i

➂ 나눗셈

나눗셈은 켤레복소수로 유리화를 사용해요.

예제) (3 + 2i) ÷ (1 - i)

→ 분모의 켤레복소수는 (1 + i), 분자와 분모에 곱해줍니다.

(3 + 2i)(1 + i) ÷ (1 - i)(1 + i)
= (3 + 3i + 2i + 2i²) ÷ (1² - i²)
= (3 + 5i - 2) ÷ (1 + 1)
= (1 + 5i) ÷ 2
= 0.5 + 2.5i

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✔️ 실전 연습문제 (시험대비용)

1. 다음 중 허수 단위 i에 대한 설명으로 옳은 것은?
   A. i = √1
   B. i = √-1
   C. i² = 1
   D. i² = -2
   정답: B
2. (2 + 3i)(2 - 3i)의 값은?
   → 4 - 9i² = 4 + 9 = 13
3. 복소수 z = 5 - 4i의 실수 부분과 허수 부분은?
   → 실수: 5, 허수: -4
4. 다음 중 실수인 복소수는?
   A. 3 + i
   B. -2
   C. 4i
   D. 1 - 2i
   정답: B

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✔️ 마무리하며 – 허수는 허무하지 않다!

처음엔 ‘존재하지 않는 수’처럼 들렸던 허수,
이제는 정말 논리적으로 탄탄하고 필요한 수라는 게 느껴지시죠?
친절샘이 강조하는 건 하나!
복소수는 실수의 확장이며, 시험에서도 계산 문제로 아주 자주 등장하니 절대 놓치지 마세요!

수학은 단순한 암기가 아니라, 개념을 제대로 이해하면 오히려 재미있어지고 실력이 확 올라갑니다.
허수도 그렇게 접근해보세요! 😊