켤레복소수와 켤레복소수의 성질 - 고등학교 공통수학 1

[고등수학 개념 마스터] 켤레복소수와 그 성질 – 친절샘과 함께 개념 뽀개기!

안녕하세요! 수학이 막힐 땐 언제나 찾아오는 친절샘입니다 😊
오늘은 복소수 단원 중에서도 꼭 알아둬야 하는 켤레복소수에 대해 배워볼 거예요.
이 개념은 시험에서 단골로 등장하는 데다, 계산 실수도 잘 나오는 부분이라 반드시 제대로 정리해두어야 합니다!

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✔️ 켤레복소수란?

먼저 복소수의 기본 형태는 알고 있죠?

복소수 z = a + bi
(단, a와 b는 실수, i는 허수 단위)

이때, 이 복소수 z = a + bi의 켤레복소수는 어떻게 정의될까요?

켤레복소수 z̅ = a - bi

즉, 허수 부분의 부호만 바꿔준 것이 바로 켤레복소수예요!

예를 들어,

• z = 3 + 2i → 켤레복소수는 3 - 2i
• z = -1 - i → 켤레복소수는 -1 + i

이제 어떤 수의 켤레복소수를 구하는 방법은 알겠죠? 😊

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✔️ 켤레복소수의 성질

자, 본격적으로 시험에 자주 나오는 성질들을 정리해볼게요. 아래 내용은 꼭 암기해야 해요!

✅ 1. 켤레복소수를 한 번 더 취하면 원래 복소수가 된다

(z̅)̅ = z

예시) z = 2 + 5i → z̅ = 2 - 5i → (z̅)̅ = 2 + 5i

✅ 2. 복소수와 그 켤레복소수를 더하면 허수 부분이 사라진다 (즉, 실수)

z + z̅ = 2a

예시) z = 4 + 3i → z̅ = 4 - 3i → z + z̅ = 8

✅ 3. 복소수와 그 켤레복소수를 곱하면 실수

z × z̅ = a² + b²

예시) z = 1 + 2i → z̅ = 1 - 2i → z × z̅ = (1 + 2i)(1 - 2i) = 1² + 2² = 1 + 4 = 5

※ 시험에 이 공식은 꼭 나옵니다! 실수로 i² = -1을 놓쳐버리면 실수 안 나와요 ㅠㅠ

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✔️ 켤레복소수가 왜 중요한가요?

친절샘이 강조하는 포인트!
복소수의 나눗셈에서 분모의 허수를 없애기 위해 켤레복소수를 곱한다는 것!

예를 들어 볼게요.

문제
(2 + 3i) ÷ (1 - i)를 계산하시오.

풀이
분모의 허수를 없애기 위해 (1 + i)를 곱해줍니다.

= [(2 + 3i)(1 + i)] ÷ [(1 - i)(1 + i)]
= (2 + 2i + 3i + 3i²) ÷ (1 - i²)
= (2 + 5i - 3) ÷ (1 + 1)
= (-1 + 5i) ÷ 2
= -0.5 + 2.5i

이처럼 켤레복소수는 복소수 나눗셈의 핵심 도구입니다.

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✔️ 실전 예제: 켤레복소수 계산

예제 1
복소수 z = 2 - 5i의 켤레복소수를 구하시오.
→ 2 + 5i

예제 2
z = 1 + 2i일 때, z × z̅의 값을 구하시오.
→ 1² + 2² = 1 + 4 = 5

예제 3
복소수 z = -3 + 4i의 실수 부분과 허수 부분의 합은?
→ 실수: -3, 허수: 4 → 합은 1

예제 4 (복소수 나눗셈)
(3 + i) ÷ (2 - i)를 계산하시오.

분모에 켤레복소수 (2 + i)를 곱합니다.

= (3 + i)(2 + i) ÷ (2 - i)(2 + i)
= (6 + 3i + 2i + i²) ÷ (4 + 1)
= (6 + 5i - 1) ÷ 5 = (5 + 5i) ÷ 5 = 1 + i

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✔️ 시험에 자주 나오는 실수 피하기!

📌 i² = -1이라는 사실 잊지 마세요.
📌 실수 부분과 허수 부분 헷갈리지 않도록 항상 분리해서 정리하세요.
📌 켤레복소수를 활용해 나눗셈을 유리화할 수 있다는 개념을 정확히 이해하세요.

복소수는 실수의 확장일 뿐! 겁먹을 필요 없어요.
친절샘이 알려준 핵심만 딱! 기억하고, 문제 많이 풀어보면 어느새 자연스럽게 계산하고 있을 거예요.