i²의 거듭제곱, 음수의 제곱근의 성질 - 고등학교 공통수학 1

[고등수학 개념 정복] i²의 거듭제곱과 음수의 제곱근 – 친절샘과 함께 깔끔하게 정리해요!

안녕하세요! 여러분의 수학 고민을 한 방에 정리해줄 친절샘입니다 😊
오늘은 복소수 단원에서 꼭 알아둬야 하는 핵심 중 핵심,
바로 i²의 거듭제곱과 음수의 제곱근의 성질에 대해 배워볼 거예요.

이 부분은 수능, 내신 모두에서 자주 출제되며, 살짝만 방심하면 실수로 이어질 수 있어요.
친절샘과 함께 개념부터 문제풀이까지 차근차근 마스터해봐요!

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✔️ 허수 단위 i의 정의부터 확실히!

먼저 기본 중의 기본! 허수 단위 i의 정의를 기억하고 가야겠죠?

i² = -1

i는 제곱하면 음수가 되는 특별한 수예요.
실수 범위에서는 √(-1)은 존재하지 않지만, 복소수 범위에서는 **i = √(-1)**로 정의합니다.

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✔️ i의 거듭제곱 규칙

i의 거듭제곱은 규칙만 외워두면 암산처럼 빠르게 처리할 수 있어요!

i의 거듭제곱 값 정리:

• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = i² × i = -1 × i = -i
• i⁴ = i² × i² = (-1) × (-1) = 1

그다음부터는 이 네 가지가 반복됩니다!

• i⁵ = i¹ = i
• i⁶ = i² = -1
• i⁷ = i³ = -i
• i⁸ = i⁴ = 1

즉, iⁿ은 n을 4로 나눈 나머지에 따라 다음과 같이 구할 수 있어요:

• 나머지가 0 → iⁿ = 1
• 나머지가 1 → iⁿ = i
• 나머지가 2 → iⁿ = -1
• 나머지가 3 → iⁿ = -i

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✔️ 예제 문제로 확인해볼까요?

예제 1
i²⁰⁰의 값을 구하시오.

➤ 200 ÷ 4 = 50, 나머지 0 → i²⁰⁰ = 1

예제 2
i³³의 값을 구하시오.

➤ 33 ÷ 4 = 8 나머지 1 → i³³ = i

예제 3
i¹²⁷의 값을 구하시오.

➤ 127 ÷ 4 = 31 나머지 3 → i¹²⁷ = -i

예제 4
i⁹⁹⁹⁹의 값을 구하시오.

➤ 9999 ÷ 4 = 2499 나머지 3 → i⁹⁹⁹⁹ = -i

친절샘 팁!
나머지 4로 나누는 연습을 많이 해보세요. 계산기 없이 풀 수 있어야 빠르게 문제를 처리할 수 있어요!

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✔️ 음수의 제곱근의 성질

복소수 단원에서 자주 등장하는 또 하나의 함정!
바로 √(-a)와 관련된 음수의 제곱근 공식이에요.

√(-a) = i√a (단, a > 0)

즉, 음수의 제곱근은 무조건 i를 붙이고 안에 있는 수는 양수로 만들어줘야 해요.

📘 예제 5

√(-9) = i√9 = 3i
√(-25) = i√25 = 5i

하지만! 두 개의 음수 제곱근을 곱하는 경우는 조심하세요!

❌ 잘못된 접근

√(-4) × √(-9) = i√4 × i√9 = (2i)(3i) = 6i² = -6 → 이건 맞긴 맞지만 조심해야 해요.

더 정확한 방법은…

✔️ 정확한 접근

√(-4 × -9) = √36 = 6

그러나 이 방법은 실수 범위에서는 적용 가능한 공식이고,
복소수 범위에서는 √(-a) × √(-b) = i√a × i√b = -√(ab) 로 계산하는 것이 정확합니다.

√(-a) × √(-b) = -√(ab)

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✔️ 실전 연습문제 (시험 대비용)

문제 1
i⁵⁶의 값을 구하시오.
→ 56 ÷ 4 = 14, 나머지 0 → 정답: 1

문제 2
i⁹⁵의 값을 구하시오.
→ 95 ÷ 4 = 23 나머지 3 → 정답: -i

문제 3
√(-64)의 값을 구하시오.
→ i√64 = 8i

문제 4
√(-4) × √(-9)의 값을 구하시오.
→ i√4 × i√9 = (2i)(3i) = 6i² = -6

문제 5
다음 중 iⁿ이 실수가 되는 경우를 모두 고르시오.
① n = 3 ② n = 4 ③ n = 6 ④ n = 7
→ 실수는 iⁿ = ±1인 경우니까
n ≡ 0 or 2 (mod 4) → 정답: ②, ③

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✔️ 정리 한 줄!

i의 거듭제곱은 4개 패턴 반복,
√(-a)는 i√a로 바꾸기,
i² = -1은 무조건 암기!

이 단원은 빠르게 계산해야 하는 문제들이 많기 때문에
공식은 눈 감고도 쓸 수 있게 익혀 두는 것이 중요해요.
특히 나머지 계산 훈련은 실전에서 큰 도움이 됩니다.