근과 계수와의 관계

📚 근과 계수와의 관계, 이렇게 쉽다고?

안녕하세요! 여러분의 친절한 수학 선생님, 친절샘 정입니다!
오늘도 즐겁게 수학 여행을 떠나볼까요? 😊
이번 시간엔 이름만 들어도 뭔가 있어 보이는 근과 계수와의 관계에 대해 알아보겠습니다.
“근과 계수? 이게 무슨 친척 관계인가요?”
아니죠! 이건 방정식의 해(근)와 방정식을 만드는 숫자들(계수) 사이의 짜릿한 관계랍니다.
조금만 배우면, 이차방정식을 손쉽게 다룰 수 있게 돼요.
그럼 출발해볼까요? 🚀

2분할 수학노트로 수학공부 열심히 해보세요!!! 

https://smartstore.naver.com/muadeep/products/11680558051

2분할 수학노트 아이코닉 오납노트 베이직 : 무아딥

---

1️⃣ 근과 계수, 누가 누구야?

먼저 용어 정리부터 해볼까요?

• 근(해): 방정식에서 x 값을 찾는 것!
  예를 들어, x² - 5x + 6 = 0 의 해는 x = 2, 3 이죠?
• 계수: 방정식에서 x 앞에 붙어있는 숫자들이에요.
  위의 식에서는 a = 1, b = -5, c = 6 이 됩니다!

그리고 이 사이엔 아주 흥미로운 관계가 있어요. 바로 오늘 배울 근과 계수의 관계입니다!

---

2️⃣ 이차방정식의 근과 계수의 관계 공식!

기본형을 한번 써볼게요.
ax² + bx + c = 0 (단, a ≠ 0)
그리고 해(근)가 α(알파), β(베타) 라고 해보죠!

자, 그럼 공식 갑니다!
✔️ 근의 합(α + β) = -b / a
✔️ 근의 곱(α × β) = c / a

이게 바로 근과 계수의 관계입니다!
간단하죠?
이걸 외우면 방정식을 훨씬 빠르고 멋지게 다룰 수 있어요!

---

3️⃣ 왜 이렇게 되나요? 비하인드 스토리! 🎬

혹시 이 공식이 갑자기 툭 튀어나온 것 같나요?
아닙니다! 이건 이차방정식의 인수분해에서 나온 거랍니다.

ax² + bx + c = a(x - α)(x - β)
이걸 전개해보면…
a(x² - (α + β)x + αβ)
따라서,

• b = -a(α + β) → α + β = -b / a
• c = a(αβ) → αβ = c / a

이렇게 쉽게 이해하면 외우기도 쉽겠죠? 😊

---

4️⃣ 예제로 바로 실력 다지기! 💪

예제 1

x² - 7x + 12 = 0
여기서 a = 1, b = -7, c = 12
✔️ 근의 합은?
α + β = -(-7)/1 = 7
✔️ 근의 곱은?
αβ = 12/1 = 12
그럼 두 근은 3과 4!
확인해보면 3 + 4 = 7, 3 × 4 = 12 딱 맞죠?

예제 2

2x² + 5x - 3 = 0
a = 2, b = 5, c = -3
✔️ 근의 합은?
α + β = -5/2
✔️ 근의 곱은?
αβ = -3/2
두 근이 뭐가 될지는 차근차근 구해보면 되고요!
이 관계만 알고 있어도 문제 풀이에 도움이 팍팍 됩니다!

---

5️⃣ 근과 계수의 관계, 어디에 쓰나요?

✔️ 방정식 만들기
근을 알고 계수로 식을 만드는 거죠!
예를 들어 근이 2와 5라면?
근의 합 = 2 + 5 = 7
근의 곱 = 2 × 5 = 10
그럼 방정식은
x² - (근의 합)x + 근의 곱 = 0
즉, x² - 7x + 10 = 0 가 됩니다!
방정식 만들기 끝!

✔️ 계산을 빠르게!
시험에서 시간 부족할 때 유용한 스킬!
굳이 근을 모두 구하지 않아도 값들을 미리 알 수 있어요.

---

6️⃣ 친절샘 정의 수학 꿀팁 🍯

👉 근의 합과 곱을 암기하는 건 기본!
👉 방정식 만들기는 ‘근의 합과 곱’을 공식에 대입해서 쉽게 끝내기!
👉 판별식이 필요 없는 초간단 계산법으로 시간 절약!
👉 근을 몰라도 근의 합과 곱만으로도 충분히 문제 해결이 가능하답니다!

---

✅ 오늘의 마무리 정리!

✔️ 근의 합 α + β = -b / a
✔️ 근의 곱 α × β = c / a
✔️ 이걸로 방정식 만들기, 빠른 계산 OK!
✔️ 시험 시간 절약 팍팍!
✔️ 근과 계수의 관계는 이차방정식의 마법 같은 공식이에요! ✨