이차방정식 근의 개수, 판별식 이용

이차방정식 근의 개수와 판별식!

친절샘 정과 함께라면 이차방정식도 문제없다!

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🌟 안녕하세요! 친절샘 정이에요!

"이차방정식의 근이 몇 개인지 판별하는 방법" 궁금하죠?
혹시 아직도 문제를 풀고 난 뒤, 근이 몇 개인지 셀 필요가 있다고 생각하는 친구들?!
그런 친구들이라면 오늘 수업 주목!!! 👀
사실, 근의 개수는 판별식만 알면 바로 뚝딱!
자, 친절샘 정과 함께 판별식이 뭔지, 어떻게 쓰는지 깔끔하게 정리해 봅시다! 🚀

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1️⃣ 이차방정식, 다시 한 번 짚고 가자!

먼저, 이차방정식이 뭔지 복습하고 시작할게요!
기본 형태는 이거예요:
ax² + bx + c = 0 (단, a ≠ 0)

여기서 a, b, c는 숫자! 이걸 계수라고 부릅니다.
우리가 찾고 싶은 건 바로 이 방정식을 만족시키는 x의 값, 즉 근(root) 입니다!
그런데 어떤 이차방정식은 근이 두 개, 하나, 아예 없는 경우도 있어요.
그걸 미리 알아보는 비법이 바로 판별식이에요!
이쯤 되면 "도대체 판별식이 뭐야?!" 하는 친구들 많죠? 지금 바로 설명 갑니다!

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2️⃣ 판별식이 뭐예요?

판별식은 말 그대로 근의 상태를 판단하는 식이에요!
이름도 똑똑하게 지었죠?
판별식은 b² - 4ac입니다!
a, b, c는 방정식에 들어있는 숫자고요, 그냥 공식에 넣어서 계산만 하면 돼요!
이 판별식 값이 양수, 0, 음수에 따라 근의 개수가 결정됩니다.

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3️⃣ 판별식 값에 따른 근의 개수!

판별식 b² - 4ac 값에 따라 이차방정식의 해가 어떻게 달라지는지 표로 정리해 볼게요!

판별식 값 (b² - 4ac)근의 상태

양수 (> 0)	서로 다른 두 실근 (두 개의 해)
0	중근 (서로 같은 실근, 하나의 해)
음수 (< 0)	허근 (실수 해 없음)

친절샘 정이 쉽게 풀어주는 예시!

1. b² - 4ac > 0
   예: x² - 3x + 2 = 0
   판별식은 (-3)² - 4×1×2 = 9 - 8 = 1 (양수!)
   → 서로 다른 두 실근!
   해는 x = 1 또는 x = 2
2. b² - 4ac = 0
   예: x² - 4x + 4 = 0
   판별식은 (-4)² - 4×1×4 = 16 - 16 = 0
   → 중근!
   해는 x = 2 (중근이란 해가 두 개이지만 값은 같아요!)
3. b² - 4ac < 0
   예: x² + 4x + 5 = 0
   판별식은 4² - 4×1×5 = 16 - 20 = -4 (음수!)
   → 실수 해 없음! (허근만 존재)

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4️⃣ 판별식이 왜 중요한가요?

시험에서 방정식의 근의 개수를 묻는 문제, 꼭 나오죠?
"근이 몇 개인가요?"
"서로 다른 두 실근이 되게 하는 a의 값을 구하라!"
이런 문제도 많아요!
이럴 때 판별식만 알고 있으면 계산 몇 번에 바로 답이 나와요!
또, 그래프와도 연결되죠!

• 서로 다른 두 실근 → 그래프가 x축과 두 번 만난다!
• 중근 → x축과 한 점에서 딱 한 번 만난다!
• 허근 → x축과 만나지 않는다!

이렇게 함수와 연결해서 생각하면 훨씬 쉽답니다!

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5️⃣ 판별식 실전 활용 꿀팁!

👉 판별식은 외우는 게 아니라 이해하고 자주 써보면 자연스럽게 외워져요!
👉 b² - 4ac > 0이면 "아, 두 개!" 하고 외치기!
👉 시험에서는 무조건 판별식 값 먼저 구하고 시작하면 시간 절약 가능!
👉 그래프와 연관 지어 생각하면 이해가 쏙쏙!

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✅ 오늘의 정리

📌 이차방정식의 근의 개수는 판별식 b² - 4ac를 계산해서 판단한다!
📌 판별식 값에 따라 근의 개수와 상태가 결정된다!

• 양수 → 서로 다른 두 실근
• 0 → 중근
• 음수 → 실수 해 없음 (허근)