집합의 포함 관계 - 부분집합 - 고등학교 공통수학 2

 

🧭 “부분집합”이 뭐예요?

수학에서 집합은 서로 구분되는 원소들의 모임이죠.
그런데 집합 A의 모든 원소가 집합 B에도 들어 있다면,
우리는 이렇게 말합니다.

A는 B의 부분집합이다.

즉, 부분집합은 어떤 집합 안에 완전히 포함되는 또 다른 집합을 말합니다.
조금 더 정확히 말하면,

집합 A가 집합 B의 부분집합이 되기 위한 조건은?
A의 모든 원소가 B의 원소이어야 한다!

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✅ 수학 기호로 표현하면?

 

A ⊆ B

읽는 방법: A는 B의 부분집합이다.

반대로, A가 B의 부분집합이 아니면 다음과 같이 씁니다.

 

A ⊈ B

읽는 방법: A는 B의 부분집합이 아니다.

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✅ 예시로 살펴보기

 

A = {1, 2}

 

B = {1, 2, 3, 4}

이때, A의 모든 원소가 B에도 있으므로

 

A ⊆ B

반면에,

 

C = {1, 5}

는 B에 5가 없기 때문에

 

C ⊈ B

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✅ 공집합은 모든 집합의 부분집합이다!

이건 시험에서 자주 나오는 개념이에요.
**공집합(∅)**은 어떤 원소도 없기 때문에,
어떤 집합 A에 대해서도 항상 성립합니다.

 

∅ ⊆ A

이건 왜 그럴까요?

원소가 없기 때문에,
“공집합의 모든 원소가 A에 속한다”는 조건을
항상 만족하게 되죠.
그래서 공집합은 모든 집합의 부분집합입니다.

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✅ 자기 자신도 부분집합이다!

이것도 자주 헷갈리는 포인트!

 

A = {1, 2, 3}

이때,

 

A ⊆ A

즉, 자기 자신도 자기 자신의 부분집합으로 인정합니다.

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✅ 진부분집합 (Proper Subset)

부분집합 중에서, 자기 자신을 제외한 경우를
진부분집합이라고 합니다.

기호로는 다음과 같이 씁니다.

 

A ⊂ B

A가 B의 진부분집합이려면
A ⊆ B 이고, A ≠ B 이어야 해요!

예시:

 

A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}

 

→ A ⊂ B

하지만,

 

C = {1, 2, 3}

 

→ C ⊂ C ❌ (진부분집합 아님)

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✏️ 예제 1

문제
집합 A = {2, 4}, B = {2, 3, 4, 5}일 때 다음 중 옳은 것은?

1. A ⊆ B
2. B ⊆ A
3. A ⊂ B
4. B ⊂ A

풀이

• A의 원소 {2, 4}는 모두 B에 있으므로 A ⊆ B → O
• B의 원소 중 3, 5는 A에 없으므로 B ⊆ A → X
• A ≠ B 이므로 A ⊂ B → O
• B ⊂ A → X

✅ 정답: ①, ③

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✏️ 예제 2

문제
다음 중 참인 것을 모두 고르세요.

1. ∅ ⊆ {1, 2, 3}
2. {1} ⊆ {1, 2}
3. {1, 2} ⊂ {1, 2}
4. {a, b} ⊆ {a, b, c}

정답 풀이
① 공집합은 모든 집합의 부분집합 → O
② 1은 포함되어 있음 → O
③ 진부분집합은 자기 자신이면 안 됨 → X
④ O

✅ 정답: ①, ②, ④

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✅ 부분집합의 개수 공식

n(A) = 원소의 개수일 때, A의 부분집합 개수는?

 

부분집합 개수 = 2^n(A)

그리고,

 

진부분집합 개수 = 2^n(A) - 1

예를 들어,
A = {1, 2, 3} → n(A) = 3

• 부분집합 개수: 2³ = 8
• 진부분집합 개수: 8 - 1 = 7

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📝 연습문제

1. 집합 A = {1, 2, 3}의 부분집합을 모두 나열하고 개수를 구하시오.
2. B = {a, b, c, d}일 때, 진부분집합의 개수는?
3. 다음 중 옳은 부분집합 관계를 모두 고르세요.
   • (1) ∅ ⊆ A
   • (2) A ⊂ A
   • (3) {1, 2} ⊂ {1, 2, 3}
   • (4) {1, 4} ⊆ {1, 2, 3}

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✅ 친절샘의 마무리 정리

용어기호조건

부분집합	⊆	A의 모든 원소가 B에 포함
진부분집합	⊂	A의 모든 원소가 B에 포함 + A ≠ B
공집합 포함	∅ ⊆ A	항상 참
자기 자신 포함	A ⊆ A	항상 참