부분집합 구하기, 부분집합의 개수 구하기 - 고등학교 공통수학 2

 

🧭 "부분집합, 도대체 어떻게 구하나요?"

안녕하세요! 수학이 쉬워지는 시간, 친절샘입니다.

집합 A가 있을 때,
그 안에 있는 원소들을 조합해서 만들 수 있는
모든 가능한 하위 집합을 모은 것,
우리가 그것을 **부분집합(subset)**이라고 부릅니다.

오늘은 이 부분집합을 직접 구하는 방법과,
그 개수를 빠르게 구하는 공식까지
정확하고 쉽게 정리해드릴게요!

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✅ 부분집합이란?

집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함되어 있다면,
A는 B의 부분집합입니다.

기호로는 다음과 같이 씁니다:

 

A ⊆ B

중요한 성질:

• 어떤 집합도 자기 자신을 부분집합으로 갖는다.
  즉, A ⊆ A
• 공집합은 모든 집합의 부분집합이다.
  즉, ∅ ⊆ A

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✅ 부분집합을 직접 구해보자

예시 1
A = {1, 2}

이 집합의 부분집합은 다음과 같습니다:

• ∅
• {1}
• {2}
• {1, 2}

→ 총 4개!

예시 2
A = {a, b, c}

이 집합의 부분집합은 다음과 같아요:

• ∅
• {a}, {b}, {c}
• {a, b}, {a, c}, {b, c}
• {a, b, c}

→ 총 8개

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✅ 부분집합의 개수 공식

원소의 개수가 n개인 집합 A의 부분집합 개수는?

공식은 아주 간단해요:

 

부분집합의 개수 = 2ⁿ

왜 2ⁿ일까요?

각 원소가 부분집합에 포함되거나 포함되지 않거나,
즉 2가지 선택지가 있기 때문에
전체 경우의 수는 2를 n번 곱한 것과 같습니다.

예시

• A = {1, 2, 3} → n = 3
  → 2³ = 8개
• A = {a, b, c, d} → n = 4
  → 2⁴ = 16개

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✅ 진부분집합은 어떻게 다를까?

진부분집합은 자기 자신을 제외한 나머지 부분집합을 말합니다.

공식은 다음과 같아요:

 

진부분집합 개수 = 2ⁿ - 1

왜냐하면 전체 부분집합 중에서 ‘자기 자신’ 하나를 제외하기 때문입니다.

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✏️ 예제 1

문제
집합 A = {1, 2, 3}의 부분집합을 모두 구하고, 개수를 쓰시오.

풀이

부분집합:

∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

→ 개수: 8개

✅ 정답: 2³ = 8개

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✏️ 예제 2

문제
B = {a, b, c, d}의 진부분집합 개수를 구하시오.

풀이

원소 개수: 4 → n = 4

→ 진부분집합 개수 = 2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

✅ 정답: 15개

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✏️ 예제 3

문제
부분집합의 개수가 32개인 집합의 원소 개수를 구하시오.

풀이

2ⁿ = 32
→ n = 5

✅ 정답: 원소의 개수는 5개

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✅ 응용: 부분집합 개수 구하는 유형별 정리

집합원소 수 (n)부분집합 개수진부분집합 개수

∅	0	1	0
{a}	1	2	1
{a, b}	2	4	3
{a, b, c}	3	8	7
{1, 2, 3, 4, 5}	5	32	31

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📝 연습문제

1. 집합 A = {1, 3, 5, 7}의 부분집합 개수는?
2. 집합 B = {x, y, z, w}의 진부분집합을 모두 나열하고 개수를 구하시오.
3. 어떤 집합의 부분집합 개수가 128개일 때, 그 집합의 원소 개수는?

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✅ 친절샘의 꿀팁 요약

• 부분집합 개수 공식: 2ⁿ
• 진부분집합 개수 공식: 2ⁿ - 1
• 공집합의 부분집합 개수: 1개 (∅만 있음)
• 자기 자신도 부분집합으로 포함
• 진부분집합은 자기 자신 제외!