집합의 원소 개수 - 고등학교 공통수학 2

🧭 집합의 ‘크기’를 말할 수 있을까?

안녕하세요, 여러분!
수학을 배우다 보면 “이 집합에는 원소가 몇 개일까?”라는 질문을 자주 만나게 됩니다.
즉, 집합의 크기, 즉 원소의 개수를 알아내는 것이
문제 풀이의 핵심이 되는 경우가 많죠.

오늘은 집합의 원소 개수를 어떻게 세고,
그에 따른 표현법과 응용법을 친절하게 알려드릴게요!

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✅ 집합의 원소 개수란?

집합 안에 들어 있는 서로 다른 원소의 수를 의미합니다.

수학적으로는 다음과 같이 표현해요.

 

n(A)

→ 이는 집합 A의 원소 개수를 의미합니다.
(읽는 방법: “엔 오브 에이” 또는 “A의 원소의 개수”)

예시

 

A = {1, 2, 3, 4}

 

n(A) = 4

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✅ 원소 개수를 셀 때 주의할 점

1. 중복은 제거
   예:
   {1, 2, 2, 3} → {1, 2, 3} → 원소 개수는 3
2. 순서는 무시
   {a, b, c}와 {c, b, a}는 같은 집합이며, 원소 개수는 동일
3. 공집합의 원소 개수는 0
   n(∅) = 0

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✅ 표현 방법

원소 개수를 표시할 때는 다음과 같은 형태로 표현합니다.

• 집합 A의 원소 개수: n(A)
• 공집합의 원소 개수: n(∅) = 0

이 표현은 경우의 수, 함수, 확률, 순열과 조합 등 다양한 단원에서 계속 등장하니
꼭 익숙해지세요!

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✏️ 예제 1

문제
다음 집합 A = {x | x는 1 이상 10 이하의 자연수 중 홀수}의 원소 개수를 구하시오.

풀이
A = {1, 3, 5, 7, 9}
→ n(A) = 5

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✏️ 예제 2

문제
B = {a, b, c, a, b}일 때, n(B)의 값을 구하시오.

풀이
중복된 원소는 제거하므로
B = {a, b, c}
→ n(B) = 3

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✏️ 예제 3

문제
C = {x | x는 100보다 작고 5의 배수인 자연수}
n(C)의 값을 구하시오.

풀이
5, 10, 15, ..., 95 → 등차수열

• 첫째항 a = 5
• 마지막항 l = 95
• 공차 d = 5
• 항 수:
  n = (95 - 5) / 5 + 1 = 19

✅ n(C) = 19

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📌 활용 예시: 합집합과 교집합의 원소 개수

두 집합 A, B가 있을 때,

 

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

왜?
A와 B를 단순히 더하면 교집합이 중복되기 때문이죠!

예시

A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}

• n(A) = 3
• n(B) = 3
• A ∩ B = {3} → n(A ∩ B) = 1

 

n(A ∪ B) = 3 + 3 - 1 = 5

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📝 연습문제

1. 집합 A = {x | x는 1부터 50까지의 짝수}
   → n(A)는?
2. B = {a, b, c, d, a, b, e}
   → n(B)는?
3. 집합 X = {1, 3, 5, 7, 9}, Y = {3, 5, 11}
   → n(X ∪ Y), n(X ∩ Y)는?

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✅ 시험 대비 꿀팁

• 문제에서 **“서로 다른 원소의 개수”**라고 하면 중복 제거 필수!
• 수열 조건을 주고 집합을 정의하면 등차수열 항 수 공식 활용
  → n = (마지막항 - 첫항) ÷ 공차 + 1
• 공집합의 원소 개수는 무조건 0
• {∅}는 공집합이 아니라 공집합을 원소로 가진 집합 → n = 1!

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🧡 친절샘의 마무리 한 마디

집합에서 원소 개수를 세는 건
단순한 숫자놀이가 아니에요.
문제의 조건을 해석하고, 중복과 범위를 파악하는 연습이죠.

특히 합집합/교집합, 경우의 수, 확률, 함수의 정의역과 치역 문제에
원소 개수 계산이 자주 출제되므로
이번 기회에 확실히 익혀두면 많은 단원에서 유리한 출발이 됩니다!