집합의 분류 – 원소 개수에 따른 분류 - 고등학교 공통수학 2

🧭 오늘의 질문: 집합을 나눌 수 있을까?

우리가 수학에서 다루는 **집합(Set)**은
단순히 모아놓는 것에서 끝나지 않아요.
어떤 기준에 따라 종류별로 분류할 수 있어야
더 깊이 있는 사고가 가능해지죠.

오늘은 원소의 개수에 따라 집합을 분류하는 방법을
함께 살펴볼 거예요.
그 주인공은 바로
유한집합, 무한집합, 공집합입니다.

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✅ 유한집합 (Finite Set)

원소의 개수가 정해져 있는 집합

말 그대로 원소를 셀 수 있는 집합이에요.

예시

• A = {1, 2, 3, 4} → 원소 개수: 4개
• B = {a, b, c} → 원소 개수: 3개
• C = {x | x는 1 이상 10 이하의 짝수} → 원소: {2, 4, 6, 8, 10}

이처럼 셀 수 있고,
원소가 유한한 개수로 딱 정해져 있으면
그 집합은 유한집합입니다.

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✅ 무한집합 (Infinite Set)

원소의 개수를 셀 수 없이 무한히 포함하는 집합

유한집합이 아닌 집합,
즉 끝없이 이어지는 원소들로 구성된 집합은 무한집합이에요.

예시

• A = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
• B = {x | x는 자연수}
• C = {x | x는 정수}

이 집합들은 원소가 무한히 많아서 다 나열할 수 없어요.
그래서 ‘...’ 점 세 개로 생략해서 표현하죠.

무한집합은 유한집합처럼 정확한 원소 개수를 셀 수 없습니다.

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✅ 공집합 (Empty Set)

원소가 하나도 없는 집합

가장 작은 집합, 아무것도 없는 집합입니다.
이런 집합을 우리는 **공집합(Empty Set)**이라 부르고,
기호로는 다음과 같이 씁니다:

• ∅ (공집합 기호)
• 또는 { } (중괄호 안이 비어 있는 표현)

예시

• A = {x | x는 1보다 작고 0보다 큰 자연수}
  → 자연수는 1부터 시작하므로 해당 조건을 만족하는 x는 없음
  → A = ∅
• B = {x | x² = -1, x는 실수}
  → 실수 중에서 제곱해서 음수가 되는 수는 없음
  → B = ∅

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📌 세 집합 비교 요약

분류정의예시

유한집합	원소 수가 정해진 집합	{2, 4, 6}, {a, b, c}
무한집합	원소 수를 셀 수 없는 집합	{1, 2, 3, ...}, {x
공집합	원소가 아예 없는 집합	∅, {x

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✏️ 예제 1

다음 집합의 종류를 유한, 무한, 공집합 중에서 고르시오.

1. A = {x | x는 1부터 10까지의 홀수}
2. B = {x | x는 정수}
3. C = {x | x² = -1, x는 실수}
4. D = {1, 3, 5, ...}

풀이

1. 유한집합 – {1, 3, 5, 7, 9}
2. 무한집합 – 정수는 무한히 많음
3. 공집합 – 실수 중 x² = -1을 만족하는 건 없음
4. 무한집합 – 끝없이 계속되는 홀수들의 나열

✅ 정답: ① 유한 ② 무한 ③ 공집합 ④ 무한

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📝 연습문제

1. 다음 중 공집합인 것을 고르세요.
   (1) {0}
   (2) ∅
   (3) {x | x는 음의 자연수}
   (4) {x | x² = -9, x는 실수}
2. 다음 중 무한집합이 아닌 것은?
   (1) {x | x는 3의 배수, x ≤ 30}
   (2) {x | x는 정수}
   (3) {x | x는 자연수}
   (4) {1, 2, 3, 4}

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✅ 친절샘의 마무리 꿀팁

공집합과 {0}을 혼동하지 마세요!

• ∅는 아무것도 없는 집합
• {0}은 0이라는 원소 하나가 있는 집합

이 둘은 완전히 다른 집합입니다.
시험에서도 이걸 헷갈리면 큰 감점 포인트가 되니까요 😅

또한, 무한집합을 다루게 되면
함수, 수열, 수의 체계 등 더 깊은 수학 개념으로 연결되니
이번 기회에 개념을 제대로 잡아 두는 것이 정말 중요합니다!